空间向量与立体几何知识总结高考必备!

辅导科目辅导科目数学授课教师授课教师 全国章 教材版本教材版本人教版 课课 题题 名名 称称 教教 学学 目目 标标 总课时总课时 年级年级 高二 已上课时已上课时 课时 上课时间上课时间 学生签名学生签名 重点、重点、 难点、难点、 考点考点 教学步骤及内容教学步骤及内容 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标如图给定空间直角坐标系和向量a，设i, j,k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一 的有序实数组a1,a2,a3，使a  a 1ia2 ja 3 k，有序实数组a 1,a2 ,a 3 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz中的坐 标，记作a a 1,a2 ,a 3 ．在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序 z 实数组x, y,z，使 OA  xi  yj  zk， 有序实数组x, y,z叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标， 记作Ax, y,z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． k i x O j Ax,y,z y 二、空间向量的直角坐标运算律二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若a a 1,a2 ,a 3 ，b b 1,b2 ,b 3 ， 则ab  a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 ， ab  a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 ，a a 1, a 2 ,a 3 R， a//b  a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 R， （2）若Ax 1, y1,z1 ，Bx2, y2,z2，则AB  x2 x 1, y2  y 1,z2  z 1 ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 b 1 a 1  （3）a//b  b ab2a2R b  a 3  3 三、空间向量直角坐标的数量积三、空间向量直角坐标的数量积 1、设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos  a,b 叫作向量a,b的数量积，记作a b，即a b＝ |a||b|cos  a,b 规定零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 |a|aa x 1 2 x 2 2 x 3 2 3、两点间的距离公式若Ax 1, y1,z1 ，Bx2, y2,z2， 则| AB |ABx 2  x 1 2y 2  y 1 2z 2  z 1 2， 或d A,B x 2  x 1 2y 2  y 1 2z 2  z 1 2． 4、夹角cos ab  2 2 ab ． 注①a  b  ab  0a,b是两个非零向量） ； |a||b| ②|a|2 aa  a。 5、 空间向量数量积的性质 ①ae |a |cos  a,e ．②a  b  ab  0．③|a |  aa． 6、运算律 ①ab ba；②ab ba；③a b  c  a b  a c 2 四、直线的方向向量及平面的法向量四、直线的方向向量及平面的法向量 1、直线的方向向量我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量 2、平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n ，如果 n ，那么向量n叫做平面α的法向量。 注①若l ，则称直线l为平面的法线； ②平面的法向量就是法线的方向向量。 ③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。 3、在空间求平面的法向量的方法 （1）直接法找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 （2）待定系数法建立空间直接坐标系 ①设平面的法向量为n  x, y,z ②在平面内找两个不共线的向量a x 1,y1,z1 和b x 2,y2,z2 AB  na  0 ③建立方程组  nb  0 ④解方程组，取其中的一组解即可。 C E D 五、证明五、证明 1、证明两直线平行 已知两直线a和b,A, B  a,C, D  b,则a // b 存在唯一的实数使ABCD 2、证明直线和平面平行 （1）已知直线a,A,Ba,C,D,E且三点不共线，则a∥ 存在有序实数对,使AB CDCE （2）已知直线a , A,Ba,和平面的法向量n,则a∥ AB  n 3、证明两个平面平行 已知两个不重合平面,,法向量分别为m,n,则∥   m // n 4、证明两直线垂直 已知直线a,b。A,Ba,C,Db，则a  b  AB CD  0 5、证明直线和平面垂直 已知直线a 和平面，且 A、Ba,面的法向量为m,则a  AB / /m 6、证明两个平面垂直 已知两个平面,  ,两个平面的法向量分别为 m , n ,则  m  n 六、计算角与距离六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角 已知两异面直线 a,b ，A,Ba,C,Db，则异面直线所成的角为 cos AB CD AB CD 例题例题 【空间向量基本定理】【空间向量基本定理】 例1.已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 M 分成定比2， N 分 PD 成定比1，求满足 分析;结合图形，从向量 即可求出 x、y、z 的值。 如图所示，取 PC 的中点 E，连接 NE，则 的实数 x、y、z 的值。 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来， 。 点评选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本 功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要 求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合， 组合是分解的表现形式。 空间向量基本定理恰好说明， 用空间三个不共面的向量组 而且 a,b,c 的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 于 点 F。 （1）证明PA//平面 EDB； （2）证明PB⊥平面 EFD； （3）求二面角 CPBD 的大小。 可以表示出空间任意一个向量， 点评 （1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． （2）证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面