空间点直线平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 一、知识要点一、知识要点 1.平面的基本性质 公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理 2过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2.空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种 如图AB 与 BC 相交于 B 点，AB 与 A′B′平行，AB 与 B′C′异面。 公理 4平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3.空间中直线与平面之间的位置关系 （1）直线在平面内有无数个公共点； （2）直线与平面相交有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行没有公共点。 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 注意，我们不提倡如下画法． 4.平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行没有公共点； （2）两个平面相交有一条公共直线。 二、例题讲解二、例题讲解 例例 1 1、、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系． 图 1 可以用几何符号表示为___________________________________________． 图 2 可以用几何符号表示为___________________________________________． 分析分析本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、 直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出． 解解图 1 可以用几何符号表示为 即平面与平面相交于直线 AB，直线 a 在平面内，直线 b 在平面内，直线 a 平 行于直线 AB，直线 b 平行于直线 AB． 图 2 可 以 用 几 何 符 号 表 示 为 即平面与平面相交于直线 MN，△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上，点 B 在 内但不在直线 MN 上． 内但不 ， △ ABC 的 三 个 顶 点 满 足 条 件 在直线 MN 上，点 C 在平面 例例 2 2、、观察下面的三个图形，说出它们有何异同． 分析分析图 1 既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图 2、图3 均用了一条直 线衬托，它们都是空间图形的直观图． 解解图 1 可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图 2 是 MN 凸在外面的一个空间 图形的直观图；图 3 是 MN 凹在里面的一个空间图形的直观图． 点评点评 （1） 本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、 立体几何图的画法． 而 这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习． （2）与本题类似的其它变形还有 用虚线画出图 4 正方体和图 5 三棱锥中被遮挡的棱，完成图形． 例例 3 3、、正方体 ABCD-A1B1C1D1中， （1）DD1和 A1B1的位置关系如何 D1B 和 AC 的位置关系如何 A1C 和 D1B 的位置关系如何 （2）和 AD 成异面直线的棱所在直线有几条 （3）和 BD1成异面直线的棱所在直线有几条 （4）六个面的正方形对角线共 12 条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对 解析解析 我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还 是异面及是否有公共点。 （1）异面直线；异面直线；相交直线； （2）4 条．分别是 A1B1、B1B、C1D1、C1C； （3）6 条．分别是 AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD； （4）30 对。 例例 4 4、、 已知 如图， 立体图形 ABCD 的四个面分别是△ABC、 △ACD、 △ABD 和△BCD， E、F、G 分别为线段 AB、AC、AD 上的点，EF∥BC，FG∥CD． 求证△EFG∽△BCD． 证明证明∵在平面 ABC 中，EF∥BC ，∴＝． 又在平面 ACD 中，FG∥CD， ∴． ∴． ∴ EG∥BD． ∴ ∠EFG ∠BCD． 同理∠FGE ∠CDB， ∴ △EFG∽△BCD． 与本例类似变形还有 已知将一张长方形的纸片 ABCD 对折一次，EF 为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示， 连结 AD、BC． 求证ADBC，∠ADE＝∠BCF．（证明略） 三、练习 1． 下列图形中， 满足的图形是 （） ． （A）（B） （C）（D） 2． 已知 A、 B 表示点， b 表示直线，、表示平面， 下列命题和表示方法都正确的是 （） ． （A） （C） 3．用符号表示“若 A、B 是平面 ________________． 4．“a，b 为异面直线”是指 内的两点，C 是直线 AB 上的点，则 C 必在内”，即是 （B） （D） （1） （2） （3） （4） 且 a 不平行于 b； 且 且 ； ，使且成立． ； ； （5）不存在平面 上述结论中，正确的是（）． （A）（1）（4）（5）（B）（1）（3）（4） （C）（2）（4）（D）（1）（5） 5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）． （A）平行或异面（B）异面（C）相交（D）相交或异面 6．如图，空间四边形 ABCD 中，M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若 BD＝m，则 MN ＝__________． 7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么 AF、BC、DE 这三条线段 所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。 四、练习答案 1. 提示 根据平面的无限延展性及平面画法来判断． 答案（C）． 2. 提示根据点与平面应用“”“”连接排除 A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除 B；再跟据图形可排除 D，因为 A 有可能在平面上． 答案（C）． 3. 提示 熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、“ 答案 4. 提示根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”， 结合图形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有 a∥b，（3）中可能有 a∥b，（4） 可能有 a 与 b 相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的． 答案（D）． 5. 提示由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证． . ”等符号． 答案（D）． 6. 提示重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM 并延长交 BC 于 E， 连结 AN 并延长交 CD 于 F，再连结 MN、EF，根据三角形重心性质得 BE ＝EC，CF＝FD． ∴ MNEF，EFBD． ∴ MNBD∴ MN ＝m． 答案m． 7.解析展开图还原成正方体如图所示（C 点与 D 点重合），成异面直线的是 AF 与 BC（或 BD，AF 与 BC 所成角即为 CE 与 BC 所成角，为 60 度。