正弦定理和余弦定理学习笔记精选

正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 （1.1 正弦定理和余弦定理） 一、目标与策略一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数 学习目标学习目标 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形； 熟记正弦、余弦定理及其变形形式； 通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。 重点难点重点难点 重点正、余弦定理的推导及应用。 难点正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。 学习策略学习策略 从特殊到一般从熟悉的直角三角形的边角关系出发，概括出直角三角形中的正、余弦定理，再推广到一般，探 究任意三角形中的边角关系。 二、学习与应用二、学习与应用 （一）（一）三角形ABC中 “凡事预则立，不预则废” 。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 （1）一般约定ABC中角 A、B、C 所对的边分别为； （2）A BC ； （3）大边对，大角对，即B C  b  c；等边对，等角对，即B C b c； （4）两边之和第三边，两边之差第三边，即acb，ac. b. （二）（二）RtABC中,C 900 word.word. （1）B A ； （2）a2b2 （3）sin A ，sinB  ，sinC  ；cos A ，cosB  ，cosC 。 知识点一正弦定理知识点一正弦定理 正弦定理正弦定理 即即 （一）直角三角形中的正弦定理的推导（一）直角三角形中的正弦定理的推导 证明证明 （二）斜三角形中正弦定理的推导（二）斜三角形中正弦定理的推导 法一构造直角三角形法一构造直角三角形 （1）当ABC为锐角三角形时 如图，作AB边上的高线CD交AB于D，则 在RtCBD中, CD sinB，即CD asinB， a 在RtACD中, CD b sin A,即CDbsin A, ∴asinB bsinA，即 ab . sin A  sin B 同理可证 bc sin B  sinC ∴ a sin A  b sin B  c sinC （2）当ABC为钝角三角形时 word.word. 法二圆转化法法二圆转化法 （1）当ABC为锐角三角形时 如图，圆 O 是ABC的外接圆，直径为AD  2R， 则C  D，∴sinC sin D  c ， 2R ∴2R  c （R为 C ABC的外接圆半径） sin 同理,2R  a ， b sin A 2R  sinB 故 a sin A  b sin B  c sinC  2R （2）当ABC为钝角三角形时 法三面积法法三面积法 （详细内容请参考知识导学，IDIDtbjx9208608tbjx9208608） 法四向量法法四向量法 （1）当ABC为锐角三角形时 word.word. 过A作单位向量j垂直于AC， 则ACCBAB 两边同乘以单位向量j， 得jACCBjAB，即j AC  jCB  j AB ∴| j || AC |cos900| j ||CB |cos90oC rrr uuu rr uuu rr uuu r ruuu rruuu r ruuu r | j || AB |cos90o A， r uuu rruuu ruuu r ∵j AC  0，| j |1，|CB | a，| AB | c， cos90oC sinC，cos90o A  sin A ∴asinC  csin A，∴ a  c sin A ， sinC 同理若过C作j垂直于CB得 ∴ bc  sin BsinC abc ，  sin Asin BsinC （2）当ABC为钝角三角形时 说明说明 （1）正弦定理适合于三角形； （2）设R为ABC的外接圆半径，可以证明 abc  _____ sin AsinBsinC （3）每个等式可视为一个方程知三求一。 （三）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题（三）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 （1） （2） 知识点二余弦定理知识点二余弦定理 余弦定理余弦定理 word.word. 即即 （一）余弦定理的推导（一）余弦定理的推导 已知ABC中，BC  a，AC b及角C，求角C的对应边c. 方法一几何法方法一几何法 （1）当ABC为锐角三角形时 如图，作BC边上的高AD 根据勾股定理有 AC2 AD2CD2，AB2 AD2 BD2， ∵RtADC中，CD ACg cosC， ∴AB2 AC2CD2 BD2 AC2ACgcosC2CB CD2  b2b2cos2C a bcosC2 b2a22abcosC 即c2 a2b22abcosC. （2）当ABC为钝角三角形且C为钝角时 （3）当ABC为直角三角形且C为直角时 方法二向量法方法二向量法 （1）当ABC为锐角三角形时（如图）， word.word. uuu ruuu ruuu r ∵AC CB  AB， uuu r uuu ruuu ruuu r uuu ruuu r ∴ABgAB  AC CBAC CB uuu r 2 uuu r uuu ruuu r 2  AC 2CBgAC CB uuu ruuu ruuu ruuu r | AC |22|CB |g | AC |cosC|CB |2 b22bacosC a2 即c2 a2b22abcosC * 同理可得b2 a2c22accosB,a2b2c22bccosA （2）当ABC为钝角三角形且C为钝角时（如图） 注意注意 ruuu ruuu ，因此AC与CB的夹角应为C，而不是C. （2）对于直角三角形中C   时，cosC 0,则c2 a2b2，恰好满足勾股定理 2 。 方法三解析几何方法利用两点间距离公式方法三解析几何方法利用两点间距离公式 （详细内容请参考知识导学，IDIDtbjx12208608tbjx12208608） （二）余弦定理的变形公式（二）余弦定理的变形公式 （1）推导（*）中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合 uuu ruuu r word.word. cosA __________________ cosB  __________________ cosC  __________________ （三）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题（三）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 （1） （2） 知识点三解三角形知识点三解三角形 一般地，叫作解三角形解三角形。 类型一正弦定理的应用类型一正弦定理的应用 例例 1 1．．已知在ABC中，c 10，A 45o，C 3