新人教版七年级上册数学-借助方程求解数轴上动点问题汇编

借助方程求解数轴上动点问题 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的肯定值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离右边点表示的数左边点表示的数。 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以干脆得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为ab；向右运动b个单位后所表示的数为ab。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表24，10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。 ⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位 ⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇 ⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。 分析如图1，易求得AB14，BC20，AC34 ⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为244x。 ①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB14 甲到C的距离为10（244x）344x 依题意，14（344x）40，解得x2 ②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC20，甲到A的距离为4x 依题意，204x）40，解得x5 即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。 ⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。 依题意有，4t6t34，解得t3.4 相遇点表示的数为2443.410.4（或1063.410.4） ⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种状况，需分类探讨。 ①甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为24424y；乙表示的数为10626y 依题意有，24424y10626y，解得y7 相遇点表示的数为24424y44（或10626y44） ②甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为24454y；乙表示的数为10656y 依题意有，24454y10656y，解得y8（不合题意，舍去） 即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为44。 点评分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。 例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为20，B点对应的数为100。 ⑴求AB中点M对应的数； ⑵现有一只电子蚂蚁P从B点动身，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点动身，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数； ⑶若当电子蚂蚁P从B点动身时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点动身，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。 分析⑴设AB中点M对应的数为x，由BMMA 所以x（20）100x，解得x40即AB中点M对应的数为40 ⑵易知数轴上两点AB距离，AB140，设PQ相向而行t秒在C点相遇， 依题意有，4t6t120，解得t12 （或由P、Q运动到C所表示的数相同，得204t1006t，t12） 相遇C点表示的数为204t28（或1006t28） ⑶设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为1006y，Q表示的数为204y。P、Q为同向而行的追及问题。 依题意有，6y4y120，解得y60 （或由P、Q运动到C所表示的数相同，得204y1006y，y60） D点表示的数为204y260（或1006y260） 点评熟识数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。 例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。 ⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； ⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5若存在，恳求出x的值。若不存在，请说明理由 ⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时动身，几分钟后P点到点A、点B的距离相等 分析⑴如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BPPA。 依题意，3xx（1），解得x1 ⑵由AB4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不行能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。 ①P在点A左侧，PA1x，PB3x 依题意，（1x）（3x）5，解得 x1.5 ②P在点B右侧，PAx（1）x1，PBx3 依题意，（x1）（x3）5，解得 x3.5 ⑶点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。P到A、B的距离相等，应分两种状况探讨。 设运动t分钟，此时P对应的数为t，B对应的数为320t，A对应的数为15t。 ①B未追上A时，PAPA，则P为AB中点。B在P的右侧，A在P的左侧。 PAt（15t）14t，PB320t（t）319t 依题意有，14t319t，解得t ②B追上A时，A、B重合，此时PAPB。A、B表示同一个数。 依题意有，15t320t，解得 t 即运动或分钟时，P到A、B的距离相等。 点评⑶中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再依据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。 例4．点A1、A2、A3、An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O1，点A2在点A1的右边，且A2A12，点A3在点A2的左边，且A3A23，点A4在点A3的右边，且A4A34，，依照上述规律点A2008、A