材料物理化学-试卷A

共共 1313 页页第第 1 1 页页 一、限做题一、限做题（每题 10 分计 70 分） 1、 计算 FCT（晶格常数为 a, a, c）与 BCT（晶格常数为 a, a, c）晶格中（hkl）晶面的晶 面间距 dhkl与 dhkl，并图示说明 FCT 晶格与 BCT 晶格是等价的。 答考虑一个正交 Bravais 晶格，图中所示的是与通过坐标原点的hkl晶面最近邻的hkl晶 面，该晶面在 x, y, z 三个坐标轴上的截距分别为a/h, b/k 和 c/l。晶面间距 dhkl是上述 z z 两晶面间的垂直距离。 d d c/l x 3 1 a/h 2 b/k y 假定hkl晶面的法向矢量 d dhkl与 x, y, z 三个坐标轴的夹角为1，2和3，cos  1  d d ， a a /h h cos 2 d d 为 d dhkl的方向余弦。 d d ，cos  3  c c/l lb b/k k 由于cos2  1  cos2  2  cos2  3 1， 222 h h2  k k 2 l l 2dhdhdkdkdl dl 2 故    1 d d      a ab bc c   a a b bc c   因而 d dhklhkl  1 h h2k k2l l2  a a2b b2c c2 （（3 3 分）分） 对 FCTd dhkl hkl  1 h h2 k k2l l2  2a a2c c （（1 1 分）分） 对 BCTd dhkl hkl  1 h h2k k2l l2  22a a c c （（1 1 分）分） 共共 1313 页页第第 2 2 页页 （（3 3 分）分） 两个 FCT 单胞 ABCD-A’B’C’D’和 BEFC-B’E’F’C’，G 与 H 和 G’与 H’为上下表面 中心原子，O 为 BB’C’C 面中心原子。 可见，GBHC-G’B’H’C’为一个 BCT 单胞，其中O 为体心位置。AB BC a, AA’ c, GB BH 2 a’, BB’ c c’, GBH  BHC GG’B 90。因此，FCT 与 a a 2 BCT 是等价的。（（2 2 分）分） 2、 考虑一个在 T 0 K 具有 N 个原子与 NLV个空位的一维单原子固体，说明空位浓度分 数 nvT NLV/N 可以近似地表示为 nv Δ l/l0 -Δ a/a0， 其中 l0 Na0， 为固体在 T 0 K 时的长度，Δ l 为长度的变化，a0固体在 T 0 K 时的晶格常数，Δ a 为晶格常数的变化。 答O 原子，V 空位 T 0 K 时N 个原子，无空位。 OOOO OOOO原子间距为 a0，总长度为 l0 Na0（（2 2 分）分） T 0 K 时N 个原子，NLV个空位。 OVOO OOVOO 原子间距为 a，总长度为 l l0 Δ l （（2 2 分）分） Δ l l – l0 Δ l 热膨胀 Δ l 空位 （（1 1 分）分） Δ l 热膨胀  NΔ a（（1 1 分）分） Δ l 空位  NLVa（（1 1 分）分） 因此，Δ l  NΔ a NLVa（（1 1 分）分） 由于 a  a0 故nvT NLV/N  l la al la a （（2 2 分）分） NaNaa al l 0 a a 0 3、 分别在 FCC 与 BCC 金属中图示出称为“哑铃”的双原子Frenkel 对间隙的位置。 答图中给出了 FCC 与 BCC 晶体结构中稳定的“哑铃”状的双原子 Frenkel 对间隙的位置， 两个黑色的原子分享一个晶格位置。FCC 中“哑铃”的轴沿方向，BCC 中“哑铃”的 轴沿方向。 共共 1313 页页第第 3 3 页页 4、 用 Debye 模型计算二维晶体的潜热。 答总模数为 2N，其中 N 为原子数，2 为可能的激化数。因此， 22N N  2AdAd2k k /2 k k D D  k k AkAk D D /2 ，其中 A 为二维晶体的面积。 2 故有k k D D  2 N N / A A 2 内能可表示为U U  2 Ad Ad k k /2 k k D D  k k /exp  1 2 应用  kckc s s 并引进变量 x x    c c s s k k，有 A A U U   2c c s s 2 3 x xD D x x2 dxdx x x  0 e e1 单位面积的热焓为C C A A   1/ A AdUdU /dTdT，因此 323k k B BT TC C A A  22   C C S S x xD D 3 c c s s k k D D x x2 dxdx x x  e e 1 T T e ex xD D1 0  （（8 8 分）分） 因此，对二维晶体 326k k B BT T 在低温极限C C A A  22 （（1 1 分）分）    C C S S 在高温极限C C A A  2k k B B N N / A A （（1 1 分）分） 共共 1313 页页第第 4 4 页页 5、 考虑一个厚度为Δ x 的无限大平板状固体，其中某一元素的浓度梯度dC/dx 在空间的分 布不为常数。由于扩散作用，该元素原子以净流量J1由平板的一侧流入，以净流量J2 由平板的另一侧流出。试由Fick 第一定律推导出 Fick 第二定律。 答考虑如下图所示的浓度分布Cx, t，其中浓度梯度dC/dx 在空间的分布不为常数，因此 净流量 Jx, t将随空间位置变化。 由Δ x x2-x1薄层的一侧流进其中的净流量为J1，由另 一侧流出其中的净流量为J2。 （（3 3 分）分） 由扩散产生的浓度分布随时间的变化率可由一维连续性方程给出 C C J J2 J J1 Δ x C C x x x x J J  J J 2 C Cx x,t tJ J   J J   1 （（2 2 分）分） t tx xx x 由 Fick 第一定律有 J Jx x,t t D D dCdC （（2 2 分）分） dxdx C Cx x,t t   因此， t t D Dx x 1 dC dC dxdx 1  D Dx x 2 dC dC dxdx 2 x x    C C  D D （（2 2 分）分） x xx x 此即 dC/dx 在空间的分布不为常数的情况下扩散的