最新高考数学中的内切球和外接球问题

精品文档 高考数学中的内切球和外接球问题高考数学中的内切球和外接球问题 一、一、有关外接球的问题有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面 体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接 球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查 学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要 运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的 有关几何元素与球的半径之间的关系， 而多面体外接球半径的求法在 解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法一、直接法 公式法公式法 1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面 积为______________ . 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上， 若该正方体的表 面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条 棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为 16，则这个球的表面积为（）. A.16B.20C.24D.32 精品文档 精品文档 3.求多面体的外接球的有关问题 例 5 一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长 为3，则这个球的体积为. 解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 6x  3  9 3 2x h   6 84 h  3   1 x  2 1 2 3 .∴外 2 9 8 ∴正六棱柱的底面圆的半径r ， 球心到底面的距离d  接球的半径R  r2d2. 体积V  4 3R. 3 小结本题是运用公式R2 r2d2求球的半径的，该公式是求球 的半径的常用公式. 二、构造法二、构造法 补形法补形法 1、构造正方体 例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外 接球的表面积是_______________. 例 3若三棱锥的三个侧面两两垂直， 且侧棱长均为 3，则其外 接球的表面积是. 故其外接球的表面积S  4r2 9. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a,b,c， 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R， 则 有2R  a2b2c2. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 精品文档 精品文档 【原理】 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则 体对角线长为l  a2b2c2，几何体的外接球直径为2R体对角线长l 即R  a2b2c2 2 练习在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分 别为1, 6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面 积。球的表面积为S  4R216 例 6 一个四面体的所有棱长都为 2， 四个顶点在 同一球面上，则此球的表面积为（） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 例 7 已知球O的面上四点 A、B、C、D，DA  平面ABC，AB  BC， DA  AB  BC 3，则球O的体积等于 . 解析本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利 用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA  平面ABC，AB  BC， 联想长方体中的相应线段关系，构造如图4 所示的长方体，又因为 DA  AB  BC 3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直 径，利用直角三角形解出CD 3.故球O的体积等于 .（如图 4） B A B C A 9 2 D O O 精品文档 图 4 C D 图 5 精品文档 2、例 8（2008 年安徽高考题）已知点A、B、C、D 在同一个球面上， AB  平面BCD，DC  BC，若AB  6, AC  2 13, AD  8，则球的体积是 解析首先可联想到例 7，构造下面的长方体，于是AD为球的 直径，O 为球心，OB OC  4为半径，要求B、C 两点间的球面距离， 只要求出BOC即可，在RtABC中，求出BC  4，所以BOC  60， 故 B、C 两点间的球面距离是 .（如图 5） 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三三. .多面体几何性质法多面体几何性质法 例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，则这个球的表面积是 A.16B.20C.24D.32. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直 径”这一性质来求解的. 四四. .寻求轴截面圆半径法寻求轴截面圆半径法 例正四棱锥S  ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S, A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 4 3 S 解设正四棱锥的底面中心为O 1 ，外接球的球心为O， 如图 1 所示.∴由球的截面的性质，可得OO 1  平面ABCD. 又SO 1  平面ABCD，∴球心O必在SO 1 所在的直线上. ∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接 圆的半径就是外接球的半径. 在ASC中，由SA  SC  2, AC  2,得SA2 SC2 AC2， 精品文档 D A O1 图3 B C 精品文档 ∴ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴ AC4 1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球  . 23 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元 素的外接球的一个轴截面圆， 于是该圆的半径就是所求的外接球的半 径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方 法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆， 从而把立体几何问题 转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们 学习. 五五 . .确定球心位置法确定球心位置法 例 5在矩形ABCD中，AB  4,BC  3， 沿AC将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体 积为 A. 125125125125 B.C.D. 12963 D C B AO 图4 解设矩形对角线的交点为O， 则由矩形对角线互相平分， 可知OA OB  OC  OD.∴点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距离相 等，即点O为四面体的外接球的球心，如图 2 所示.∴外接球的半径 R  OA  54125 .故V 球 R3. 236 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】 直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角 形斜边中点。 精品文档 精品文档 【例题】 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB  BC且 PA  7,PB  5,PC 51, AC 10求球O的体积。 解AB  BC且PA  7,PB  5,PC  5