高一数学《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》-教学设计、课后练习、学习任务单

教学设计 课程基本信息 课例编号 学科 数学 年级 高一 学期 上 课题 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教科书 书名数学 必修 第一册 教学人员 姓名 单位 授课教师 指导教师 教学目标 教学目标探究、学习如何用配方法解一元二次方程 教学重点配方法在解一元二次方程中的应用 教学难点如何正确“配方” 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 1.问题提出 前面的学习中我们知道，用因式分解法可以得到一元二次方程的解集，比如 求下列方程的解集 （1） ；（2）. 但是这种方法有时候并不容易实施，比如，上述第2小题. 那么，除了因式分解法，我们还能有哪些方法能找到一元二次方程的解集呢 今天我们就来探讨、交流一元二次方程的另一种解法。 2. 探究如何用配方法解一元二次方程 想一想 最简单的一元二次方程是什么样子如何得到这类方程的解集 例如方程的解集为；方程的解集为；方程的解集为 . 回顾这几个例子，不难发现 一般地，方程 1 当时，解集为； 2 当时，解集为； 3 当时，解集为. 对于形式略为复杂的一元二次方程，比如 ； 是否能转化为上述形式呢 分析因为 所以方程可转化为 易知，故， 因此方程的解集为； 同理，利用“配方”可以得到 ， 所以方程可化为， 从而可知解集为. 归纳 不难发现，通过配方 总能将方程转化为化为. 即，我们总是能将方程化为的形式. 那么，如果方程的形式再复杂一点如 方程， 是否还能转化成的形式呢 法一显然，原方程等价于方程， 易知其可可转化为， 法二 故原方程转化为； 可解得，即； 所以原方程的解集为. 再来考虑最为一般地一元二次方程. 我们也做上述类似的考虑，尝试将方程转化为的形式. 所以也就转化为 即. 观察上述方程，易知的符号决定了上述方程的解集情况 1 当时， 即， 故方程的解集为； 2 当时， ， 故方程的解集为； 3 当，方程的解集为. 一般地，称为一元二次方程的判别式.一元二次方程的解集的情况完全由判别式的符号决定. 刚刚，我们讨论了通过配方，找到任意一元二次方程的解的方法.下面，我们用这个方法来解决两个具体问题. 例1.求方程 的解集. 解 故原方程转化为， 可解得； 即， 所以原方程的解集为. 3.适当拓展 例2. 求方程的解集. 解设，且原方程可化为 ，即. 可解得. 从而，即，所以原方程的解集为. 巩固练习 求方程的解集 . 解设，且原方程可化为， 即，也就是. 可解得. 从而，即，所以原方程的解集为. 4.小结 今天我们主要学习用配方法求一元二次方程的解集的方法. 5.作业 求下列方程的解集 （1）； （2）. 课后练习 课程基本信息 课例编号 学科 数学 年级 高一 学期 上 课题 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教科书 书名数学 必修 第一册 学生信息 姓名 学校 班级 学号 课后练习 求下列方程的解集 （1）； （2）. 学习任务单 课程基本信息 课例编号 学科 数学 年级 高一 学期 上 课题 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教科书 书名 数学 必修 第一册 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 1. 掌握配方法，会用配方法解一元二次方程； 2. 理解换元法，会用换元法将特殊方程转化为一元二次方程进行求解。 课前学习任务 1. 回忆一元二次方程的解法； 2. 巩固、理解“方程的解集”的概念； 课上学习任务 【学习任务一】 一般地，方程 4 当时，解集为； 5 当时，解集为； 当时，解集为. 【学习任务二】 归纳、发现，通过配方 总能将方程转化为化为. 即，我们总是能将方程化为的形式. 【学习任务三】 理解用配方法解方程. 即将方程转化为. 观察上述方程，易知的符号决定了上述方程的解集情况 4 当时， 即， 故方程的解集为； 5 当时， ， 故方程的解集为； 6 当，方程的解集为. 【学习任务四】 理解配方法解一元二次方程的原理，并能独立用配方法解一元二次方程. 例1.求方程 的解集. 解 故原方程转化为， 可解得； 即， 所以原方程的解集为. 例2. 求方程的解集. 解设，且原方程可化为 ，即. 可解得. 从而，即，所以原方程的解集为. 推荐的学习资源 1．人教版教材 第 9 页 共 9 页