函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明对于函数的定义域内任意一个 ⑴ 是偶函数; ⑵奇函数; 函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②整体性奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立; ③可逆性是偶函数;是奇函数; ④等价性; ⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称; 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法 第一种方法利用奇、偶函数的定义,考查是否与、 相等, 判断步骤如下①定义域是否关于原点对称; ②数量关系哪个成立; 例1判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) (6). 例2判断函数的奇偶性。 第二种方法利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集) 两个奇函数的代数和是奇函数; 两个偶函数的和是偶函数; 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数; 两个奇函数的积为偶函数; 两个偶函数的积为偶函数; 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论. 结论1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 结论2 两个奇函数的和仍是奇函数;两个偶函数的和仍是偶函数。 结论3 是任意函数,定义域关于原点对称,那么是偶函数。 结论4 函数是偶函数,函数是奇函数。 结论5 已知函数是奇函数,且有定义,则。 结论6 已知是奇函数或偶函数,方程有实根, 那么方程的所有实根之和为零; 若是定义在实数集上的奇函数,则方程有奇数个实根。 五、关于函数奇偶性的简单应用(各种类型题) 1.利用定义解题 例1已知为奇函数,则________。 已知为偶函数,则 ________。 2.利用奇偶性,求函数值 例2(1)已知且,求的值 3.利用奇偶性比较大小 例3(1)已知奇函数在R为减函数,比较,,的大小。 (2)已知函数是上的偶函数,且在上是减函数, 若,求的取值范围. **(3)定义域为的函数在上为减函数,且函数为偶函数,则 A. B. C. D. 4.利用奇偶性求解析式 例4(1)已知为偶函数,,求解析式 (2)已知为奇函数,当时,,当时,求解析式 5.利用奇偶性讨论函数的单调性 例5若是偶函数,讨论函数的单调区间 6.利用奇偶性判断函数的奇偶性 例6已知是偶函数,判断的奇偶性。 7.利用奇偶性求参数的值 例7(1)定义上的偶函数在单调递减,若恒成立,求的范围. (2)定义上单调递减的奇函数满足对任意,若恒成立,求的范围. 8.利用图像解题 例8(1)设奇函数fx的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,fx的图象如右图,则不等式的解是 . (2)若函数在上为奇函数,且在上单调递增,,则不等式的解集为 . 9.利用性质选图像 例9(1)设,实数满足,则关于的函数的图像形状大致是( ) x 0 y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 A B C D (2)函数的图象大致为 奇偶性专题训练 1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则( ) A.,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=1,b=0 D.a=3,b=0 3.如果定义在区间上的函数为奇函数,则 4.若y=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=_________. 5.若为奇函数,则实数 . 6.函数是偶函数的条件是 . 7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于( ) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 8.已知函数 A.b B.-b C. D.- 9.若函数是定义在R上的奇函数,则函数的图象关于( ) A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对 10.已知函数在R是奇函数,且当时,,则时,的解析式为_______________ 11.下列四个函数中,是奇函数且在定义域上不是单调函数的是( ) A. B. C. D. 12.若函数为奇函数,则( ) A. B. C. D. 13.设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 14.定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。 15.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减, 若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. 16. 若f(x)是定义在(-∞,-5][5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明. 17.设函数y=f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x、y满足f(xy)=f(x)+f(y), 求证f(x)是偶函数. 18.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是( ) A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|x|-2) 19.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x21,求f(x)在R上的表达式.