平面向量练习题集答案

平面对量练习题集答案 典例精析 题型一 向量的有关概念 【例1】 以下命题 ①向量的长度与的长度相等； ②向量a与向量b平行，那么a与b的方向一样或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必一样； ④向量与向量是共线向量，那么A、B、C、D必在同始终线上. 其中真命题的序号是 . 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向随意，故②错；③明显错；与是共线向量，那么A、B、C、D可在同始终线上，也可共面但不在同始终线上，故④①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决此题的关键，留意到特别状况，否认某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】以下各式 ①|a|＝； ②ab c＝a bc； ③－＝； ④在随意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，那么＋＝2； ⑤a＝cos α，sin α，b＝cos β，sin β，且a与b不共线，那么a＋b⊥a－b. 其中正确的个数为 B.2 【解析】选D.| a|＝正确；ab c≠a bc； －＝正确；如以下图所示， 且， 两式相加可得2＝＋，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得a＋b⊥a－b. 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且，点N在线段OC上,且,设a, b,试用a、b表示，，. 【解析】在▱ABCD中，AC，BD交于点O， 所以＝＝－＝a－b， ＝＝＝＋＝a＋b. 又＝， ＝， 所以＝＋＝b＋ ＝b＋a－b＝a＋b， ＝＋＝＋ ＝＝a＋b＝a＋b. 所以＝－ ＝a＋b－a＋b＝a－b. 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面对量根本定理的应用，在运用向量解决问题时，常常须要进展这样的变形. 【变式训练2】O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满意＝＋λ＋，假设λ＝时，那么＋的值为 . 【解析】由得－＝λ＋， 即＝λ＋，当λ＝时，得＝＋， 所以2＝＋，即－＝－， 所以＝， 所以＋＝＋＝0， 所以 ＋＝0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题 【例3】 设两个非零向量a与b不共线. 1假设＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3a－b， 求证A，B，D三点共线； 2试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 【解析】1证明因为＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3a－b， 所以＝＋＝2a＋8b＋3a－b＝5a＋b＝5， 所以， B， 所以A，B，D三点共线. 2因为ka＋b和a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λa＋kb， 所以k－λa＝λk－1b. 因为a与b是不共线的两个非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝1. 【点拨】1向量共线的充要条件中，要留意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要留意待定系数法的运用和方程思想. 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 【变式训练3】O是正三角形BAC内部一点，230，那么△OAC的面积与△OAB的面积之比是〔〕 A.B. D. 【解析】如图，在三角形ABC中， ＋2＋3＝0，整理可得＋＋2＋＝0.令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，那么点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF. 设三角形ABC中AB边上的高为h，那么S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝OE ＋＝OEh， S△OAB＝ABh＝ABh， 由于AB＝2EF，OE＝EF，所以AB＝3OE， 所以＝＝.应选B. 总结提高 1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区分，直线平行不包括共线即重合的情形，而向量平行那么包括共线即重合的情形. 2.推断两非零向量是否平行，事实上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来. a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|； 当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||； 当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|. 典例精析 题型一 平面对量根本定理的应用 【例1】如图▱ABCD中,M,N分别是DC，BCa,b,试用a，b表示，与 【解析】易知＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋， 即 所以＝2b－a， ＝2a－b. 所以＝＋＝a＋b. 【点拨】运用平面对量根本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得细致领悟. 【变式训练1】D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满意＋＋＝0，那么等于 A. B. C.1 【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法那么，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选C. 题型二 向量的坐标运算 【例2】 a＝1，1，b＝x，1，u＝a＋2b，v＝2a－b. 1假设u＝3v，求x；2假设u∥v，求x. 【解析】因为a＝1，1，b＝x，1， 所以u＝1，1＋2x，1＝1，1＋2x，2＝2x＋1，3， v＝21，1－x，1＝2－x，1. 1u＝3v⇔2x＋1，3＝32－x，1 ⇔2x＋1，3＝6－3x，3， 所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1. 2u∥v ⇔2x＋1，3＝λ2－x，1 ⇔ ⇔2x＋1－32－x＝0⇔x＝1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】向量an＝cos，sinn∈N*，|b|y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋＋|a141＋b|2的最大值为 . 【解析】设b＝cos θ，sin θ，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋＋|a141＋b|2＝a12＋b2＋2cos，sincos θ，sin θ＋＋a1412＋b2＋2cos，sincos θ，sin θ＝282＋2cos－θ，所以y的最大值为284. 题型三 平行共线向量的坐标运算 【例3】△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝a，b，n＝sin B，sin A，p＝b－2，a－2. 1假设m∥