平面向量知识点总结与训练

其次章 平面对量 学问点归纳 一. 向量的基本概念及基本运算 1向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点及终点的大写字母表示，如几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量长度为0的向量，记为，其方向是随意的，及随意向量平行零向量＝｜｜＝0 由于的方向是随意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清晰是否有“非零向量”这个条件．（留意及0的区分） ③单位向量模为1个单位长度的向量 向量为单位向量｜｜＝1 ④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量随意一组平行向量都可以移到同始终线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行随意的平移即自由向量，平行向量总可以平移到同始终线上，故平行向量也称为共线向量 数学中探讨的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以随意选取，现在必需区分清晰共线向量中的“共线”及几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”及几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设，则 （1）； （2）向量加法满意交换律及结合律； 向量加法有“三角形法则”及“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点及已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加 ，但这时必需“首尾相连”． 3向量的减法 ① 相反向量及长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 记作,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有 （i）； ii ； iii若、是互为相反向量，则,, ②向量减法向量加上的相反向量叫做及的差， 记作求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点） 4实数及向量的积 ①实数λ及向量的积是一个向量，记作λ，它的长度及方向规定如下 （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向及的方向相同；当时，λ的方向及的方向相反；当时，，方向是随意的 ②数乘向量满意交换律、结合律及安排律 5两个向量共线定理 向量及非零向量共线有且只有一个实数，使得 6平面对量的基本定理 假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使，其中不共线的向量叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 7 特殊留意 （1）向量的加法及减法是互逆运算 （2）相等向量及平行向量有区分，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行及直线平行有区分，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的状况 （4）向量的坐标及表示该向量的有向线条的始点、终点的详细位置无关，只及其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特殊是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面对量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，推断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会及三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是学问的交汇点 二. 平面对量的坐标表示 1平面对量的坐标表示在直角坐标系中，分别取及x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面对量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于及数对x,y是一一对应的，因此把x,y叫做向量的坐标，记作x,y，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 1相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 2向量的坐标及表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关，只及其相对位置有关 2平面对量的坐标运算 1 若，则 2 若，则 3 若x,y，则x, y 4 若，则 5 若，则 若，则 3 向量的运算向量的加减法，数及向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质  运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1平行四边形法则 2三角形法则 向 量 的 减 法 三角形法则 向 量 的 乘 法 是一个向量, 满意 0时,及同向; 0时,及异向; 0时, ∥ 向 量 的 数 量 积 是一个数 或时, 0 且时, , 三．平面对量的数量积 1两个向量的数量积 已知两个非零向量及，它们的夹角为，则︱︱︱︱cos 叫做及的数量积（或内积） 规定 2向量的投影︱︱cos∈R，称为向量在方向上的投影投影的肯定值称为射影 3数量积的几何意义 等于的长度及在方向上的投影的乘积 4向量的模及平方的关系 5乘法公式成立 ； 6平面对量数量积的运算律 ①交换律成立 ②对实数的结合律成立 ③安排律成立 特殊留意（1）结合律不成立； （2）消去律不成立不能得到 （3）0不能得到或 7两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量，则 8向量的夹角已知两个非零向量及，作, ,则∠AOB （）叫做向量及的夹角 cos 当且仅当两个非零向量及同方向时，θ00，当且仅当及反方向时θ1800，同时及其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直假如及的夹角为900则称及垂直，记作⊥ 10两个非零向量垂直的充要条件 ⊥＝O 巩固练习 例1 给出下列命题 ① 若||＝||，则； ② 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若，，则， ④的充要条件是||||且//； ⑤ 若//，//，则//， 其中正确的序号是 例2 设A、B、C、D、O是平面上的随意五点，试化简 ①，② ③ 例3设非零向量、不共线，k，k kR，若∥，试求k 例4 已知向量，，且，求实数的值 例5已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标 例6已知两单位向量及的夹角为，若，试求及的夹角 例7 已知，，，按下列条件求实数的