平面向量知识点

1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度或称模 平面对量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是随意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的运算 1交换律 a＋b＝b＋a. 2结合律 a＋b＋c＝a＋b＋c. 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋－b 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 1|λa|＝|λ||a|； 2当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λμa＝λμa； λ＋μa＝λa＋μa； λa＋b＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量aa≠0与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 4．平面对量基本定理 假如e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底． 5．平面对量的坐标运算 1向量加法、减法、数乘与向量的模 设a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a＋b＝x1＋x2，y1＋y2，a－b＝x1－x2，y1－y2，λa＝λx1，λy1，|a|＝. 2向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设Ax1，y1，Bx2，y2，则＝x2－x1，y2－y1，||＝. 6．平面对量共线的坐标表示 设a＝x1，y1，b＝x2，y2，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 7．平面对量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作ab＝|a||b|cos θ. 规定零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ab＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 ab＝|a||b|. 8．平面对量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 9．平面对量数量积的重要性质 1ea＝ae＝|a|cos θ； 2非零向量a，b，a⊥b⇔ab＝0； 3当a与b同向时，ab＝|a||b|；当a与b反向时，ab＝－|a||b|，aa＝|a|2，|a|＝； 4cos θ＝； 5|ab|__≤__|a||b|. 10．平面对量数量积满意的运算律 1ab＝ba交换律； 2λab＝λab＝aλbλ为实数； 3a＋bc＝ac＋bc. 11．平面对量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，则ab＝x1x2＋y1y2，由此得到 1若a＝x，y，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2设Ax1，y1，Bx2，y2，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝. 3设两个非零向量a，b，a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 12．向量在平面几何中的应用 1用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用学问 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0， 其中a＝x1，y1，b＝x2，y2 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， a＝x1，y1，b＝x2，y2，其中a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝θ为向量a，b的夹角 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝x，y 平面对量单元测试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A、的长度相等；B、零向量与任何向量都共线； C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。 2． A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤ 3． 围成一个三角形。则命题甲是命题乙的（ ） A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、非充分也非必要条件 4． A、B、 C、D、 5． A、B、 C、D、 6．如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ） A、B、C、D、 7． A、B、C、D、 8． A、B、3C、D、-2 9． A、B、C、D、 10． 的模之比值为（ ） A、B、C、D、 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11． 12． 13． x 。 14． 三、解答题本题共4小题，每题10分，共40分 15．已知记. （1）求的周期和最小值； （2）若按平移得到，求向量. 16．已知、是两个不共线的向量，且（cos，sin）, （cos，sin） （Ⅰ）求证与－垂直； （Ⅱ）若∈（），，且|| ，求sin. 17．设 （1）计算 18． 已知向量＝cosx，sinx，＝cos，－sin，其中x∈[0，] 1求与|＋|；2若fx＝－2λ|＋|的最小值为－，求λ的值 参考答案 一、1．D2．B3．B4．C5．A6．B7．A8．A9．D10．A 二、11．［0，2］12．13．-114．15 三、15． 16．解（1）∵（4cos，3sin）， （3cos，4sin） ∴|| || 1 又∵（）（－）2－2||2－||2 0 ∴（）⊥（－） （2）||2 （）2