平面向量的数量积的运算律

第十二教时 教材平面对量的数量积的运算律 目的要求学生驾驭平面对量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。 过程 一、 复习 1．平面对量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质 2．推断下列各题正确与否 1若a 0，则对任一向量b，有ab 0。 √ 2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0。 3若a 0，ab 0，则b 0。 4若ab 0，则a 、b至少有一个为零。 5若a 0，ab ac，则b c。 6若ab ac，则b c当且仅当a 0时成立。 7对随意向量a、b、c，有abc abc。 8对随意向量a，有a2 |a|2。 √ 二、 平面对量的运算律 1． 交换律a b b a 证设a，b夹角为q，则a b |a||b|cosq，b a |b||a|cosq ∴a b b a 2． ab ab ab 证若 0，ab |a||b|cosq， ab |a||b|cosq， ab |a||b|cosq， 若 0，ab |a||b|cosp-q -|a||b|-cosq |a||b|cosq， ab |a||b|cosq， ab |a||b|cosp-q -|a||b|-cosq |a||b|cosq。 3． a bc ac bc[来源1] q q1 q2 a b A B O A1 B1 C c 在平面内取一点O，作 a, b， c， ∵a b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即|a b| cosq |a| cosq1 |b| cosq2 ∴| c | |a b| cosq |c| |a| cosq1 |c| |b| cosq2 ∴ca b ca cb 即a bc ac bc 4． 例题P118119 例二、例三、例四 （从略） 三、 应用例题（教学与测试第27课P156 例二、例三）[来源学科网] 例一、 已知a、b都是非零向量，且a 3b与7a - 5b垂直， a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。[来源学。科。网] 解由a 3b7a - 5b 0 7a2 16ab -15b2 0 ① a - 4b7a - 2b 0 7a2 - 30ab 8b2 0 ②[来源学科网] 两式相减2ab b2 代入①或②得a2 b2 设a、b的夹角为q，则cosq ∴q 60 例二、求证平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。[来源1ZXXK] A B D C 解如图 ABCD中，， ∴||2 而 ∴||2 ∴||2 ||2 2 四、 小结运算律 五、 作业 P119 习题5.6 7、8 A B D C 教学与测试P152 练习 第 1 页