平面向量整说课详解

平面对量整理 一、 平面对量的本质向量就是终点相对于起点的位置改变。 这里包含两点1、改变的距离 2、改变的方向 二、 平面对量可以用有向线段来表示，但要留意有向线段不是向量，只是表示向量的手段。一个向量可以用不同的有向线段来表示，只要终点相对相对于起点的位置改变相同。须要留意的是表示向量有向线段的起点，并不是向量实际意义上的起点；表示向量的有向线段的终点，并不是向量实际意义上的终点。 三、 1、向量的模 就是终点相对于起点改变的距离； 2、零向量 （1）改变的距离为0 （2）改变的方向是随意的 3、单位向量 （1）改变的距离为1 （2）改变的方向不要求 4、相等向量 （1）改变的距离相等 （2）改变的方向相同 5、相反向量 （1）改变的距离相等 （2）改变的方向相反 6、平行（共线）向量 只要求改变的方向在一条直线上，对距离没要求 四、向量的加减法 1、向量的加法两向量相加表示经过两次位置改变后，终点相对于最初起点的位置改变 如 表示向东走100米，表示向东北100米，那么ab的和表示向东北走了100米。 a b ab 由此不难得到两向量相加的三角形法则即将被加的向量顺次首尾相接，连接起点和最终终点得到的向量。 类似的，abc表示三次位置改变 B C D 向量的平行四边形法则实质上也是三角形法则 A 2、向量的减法向量的减法是加法的逆运算。 a-b b 如a－b表示a（－b）可将向量的减法转化为两向量相加。 表现为两向量起点重合，连接两向量的终点并指向被减向量的向量 a -b a-b 五、数乘运算 数乘运算 向量的平行（共线）即，向量共线则向量可以进行线性运算（两向量之间存在倍数关系），反过来，向量可以进行线性运算（两向量之间存在倍数关系）则向量共线。 六、平面对量基本定理 1、向量的加减法可以看作是向量合成，向量的分解可以看作是合成的逆运算。 O 1 ． ． 2、基底先讲数轴（一维的）作好类比过渡 数轴上每个数都可以用单位１过表示，如４＝41 －8＝（－8）1，这里的单位1就可以看作是基底，当然用2也可以去度量任何一个实数， 如4＝22，6.8＝3.42，这里的2就可以看作是基底，所以说基底就是一个度量衡。 3、假如我们探讨的向量终点相对于起点的位置改变在一条直线方向上（一维的情形）。 O i ． ． 如图，我们可以规定一个方向向右的单位向量，叫它i， 那么其它向量就可以用它来度量， 例如，方向向右，终点相对于起点改变的距离为3的向量a就可以表示为3i， 方向向左，终点相对于起点改变的距离为4.5的向量 b就可以表示为 -4.5i，类似于坐标，我们也可以记a3，b-4.5 那么a b3（-4.5）-1.5，表示方向向左，改变的距离为1.5的向量；-2a-23-6，表示方向向左改变的距离为6的向量。这一点与实数运算完全类似。 l c m b a 4、平面对量是二维的，所以平面对量的基底，须要两个方向 如图 则a＝bc，且这种分解是唯一的，在l,m直线方向上分别取非零向量i，j，则c＝xi, byj ,由共线向量基本定理，这里的x，y也是唯一的。任一向量a都可以分解为非零向量i，j的线性表示，a＝xi yj这里且是唯一的。这里的非零向量i，j就是基底，是平面对量的度量衡。并且，假如我们选取的非零向量i，j是单位向量，我们就可以将向量a记作a（x，y）,这里，我们相当于建立了一个斜坐标系。 y 六、向量的坐标表示 x O 2 3 A2,3 向量作为一种工具，可以实现由代数的方法探讨几何的问题。为此，我们须要把它代数化，这就须要引入参考系（坐标系）。由以上探讨，可以选取两个垂直的单位向量i，j为基底，把它们的起点固定在直角坐标系的原点上，实现将向量有序数对表示。 如图，如图，＝（2，3） （1）平面中的向量都可以看作是经过两次位置改变而得到的，一次是x轴方向的（水平的），另一次是y轴方向上的（竖直的）。 则就可以分解为两条直线方向上的位置改变，而在每条直线方向上运算都是线性的。 x O 3 2 A3,2 B6,5 C 6 5 （2）向量改变的距离，由直角三角形得到|| 向量改变的方向可以由来表示。 （3）起点为A终点为B的向量表示，如图 可以看作是先由A到C，再由C到B，所以 一般化一下，A（x1 , y1）,Bx2 , y2 由直角三角形ABC也可以看到，｜AB｜＝ 七、向量的数量积 a b θ O B A C 1、记住数量积的几何意义 如图，ab＝｜a｜｜b｜cosθ 表示｜a｜与向量b在向量a方向上的投影（｜b｜cosθ）的积，这里θ是两 向量的夹角（）。实质为把两个向量的内积转化为两个实数的乘积。 2、向量的坐标表示 要从向量坐标的本质上推导，a＝（x1，y1）＝x1i y1j , b＝（x2，y2）＝x2i y2j 这里向量i，j表示两个垂直的单位向量i，j。推导从略。 例题讲解 1．2009广东，5分一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3单位牛顿的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 A．2 B．2 C．2 D．6 解析本题事实上是求与的和向量，由余弦定理||2＝||2＋| |2－2||||cos∠OF1F3＝4＋16－224－＝28. ∴||＝2，故选A. 答案A 解析平面对量问题一般要作图，质点处于平衡状态，则F1F2F3＝0，所以F3＝－（F1F2）,表示向量F1 、F2两次改变可等价于一次改变的效果OF1，F3表示其相反向量，于是就成了解三角形的问题，利用余弦定理求出OF3的长度就行了。 2 4 2．（2010浙江，4分）在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝________. 解析＝＋＋＝－＋＝－＝9－100＝－16. 答案－16 解析画图，解决向量的点积问题，就是简化，考虑找到度量衡（基底），从而把它化成两个方向上的线性运算，我们选取向量AM，BC为基底（因为这两个向量的信息是知道的），可得＝＋＋＝－＋＝－＝9－100＝－16. A B C M 3．（2011浙江，4分）若平面对量α，β满意|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________． X y O α β 解析对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝|α||β|sin〈α，β〉2＝|β|sin〈α，β〉＝，因此sin〈α，β