对数与对数函数—讲义

2.7 对数与对数函数 一．【教学目标】 1．理解对数的概念，驾驭对数的运算性质； 2．驾驭对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二．【教学重点】 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三．【命题规律】 主要考察指数式与对数式的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四．【学问回顾】 1.对数的概念 假如 ,那么数叫做以为底N的对数，记作 ，其中叫做对数的 ，N叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化 2.常用对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，记作。 自然对数通常将以无理数为底的对数叫做自然对数，记作。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式① ② （2）换底公式 （3）对数的性质①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即 ③底的对数等于1，即 ④ 4.对数的运算性质 假如，那么 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 （5） ； （6） 5.对数函数 函数做对数函数，其定义域为0，∞，值域为-∞，∞.、 6.对数函数图像与性质 注对数函数的图像关于轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底渐渐增大， 即 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等函数均不符合形式，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数的图像，应抓住三个关键点 【例题精讲】 考点一对数式的运算 例1.计算 （1） （2） 【反思归纳】运用对数的运算法则时，要留意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。 【举一反三】 1.求值 （1） （2） （3） 考点二对数值的大小比较 比较大小常用的方法有①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应留意以下状况 1 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，干脆利用对数函数的单调性来推断。 2 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来推断。 3 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较 4 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先依据值的大小，（特殊是0和1）进行分组，再比 较各组的大小。 5 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要留意对底数进行探讨。 例2.比较大小 （1） （2） （3） （4） 【举一反三】 2.（08年北京卷改编）若，则的大小关系是 。 考点三与对数函数有关的定义域问题 求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应留意真数大于0且不等于1，若遇究竟数含有参数，则应对参数进行探讨。 例3. 求下列函数的定义域 （1） （2） 考点四与对数函数有关的值域问题 （1） 型如采纳换元法，令，依据定义域先求值域，再求的值域。 （2） 型如由真数求出定义域，再求出的值域，再依据的值确定复合函数的值域. 例4.求下列函数的值域 （1） （2） 考点五定义域或值域为R的问题 （1） 若的定义域为R,则对随意实数，恒有。 特殊地，当时，要使定义域为R，则必需 （2） 若的值域为R，则必需取遍内全部的数。 特殊地，当时，要使值域为R，则必需 例5.已知函数 （1） 若定义域是R，求的取值范围； （2） 若值域是R，求的取值范围。 考点六对数函数的综合问题 例6.已知函数 （1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围。 （2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1假如存在，试求出的值，假如不存在，请说明理由。 【反思归纳】这是一道探究性问题，留意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出冲突，则不存在，反之，存在性成立。 【举一反三】 3.已知在区间上是增函数，求实数的取值范围。 【练习】 1. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，最大值与最小值之积为，则等于 。 2. （08年天津卷改编）设，若对于随意的，都有满意方程，这时的取值的集合为 。 3. （08年高考山东卷）已知，则的值等于 。 4. 设，函数有最大值，则不等式的解集是 。 5. 若，则 。 6. 已知，则 。（用表示）。 7. 已知等比数列满意且，则时， 。 8. 已知，对于随意，当时，恒有，则实数的取值范围为 。 9. 不等式的解集为 。 10. 若的值域为R，则的取值范围是 。 11. 设为函数的图像上两点，其横坐标分别为和，直线与函数的图像交于点C，与直线AB交于点D。 （1） 求D的坐标 （2）当的面积大于1时，求实数的取值范围。 第6页 共6页 对数与对数函数