再论数学教材改革--再论数学教材改革

再论数学教材改革 与张玫商榷 吴长山 摘要就［1］中对高中数学实验教材若干意见与建议商榷. 关键词 数学实验教材 商榷 教改 文［1］就两省一市采用的高中数学实验教材，指出了不足，给予了修改建议，意在与 数学教育界同行们商榷，以集思广益、完善新教材，本文由文［1］引发，阐述对新教材乃 至教改的观点，欢迎同仁们指正. 1. 关于文［1］中1.1的“误解”与“删去” 文［1］认为教材中“在集合与集合之间，存在着’包含’与’相等’的关系”讲法可 能使学生产生集合间仅有这两种关系的误解，不够妥当，建议删去.这是关于文［2］ 1.2.1 了集第一段的评述. 笔者认为①集合之间可能存在的关系不仅有“包含”“相等”，还有“既不包含也不相等” 的情形，文［2］中问题不在于忽略了后者，而在于对“存在”二字的理解.“存在性”与“任 意性”是数学中最常用的两个词汇，“存在”是指“具有”，不是“仅有”.说某事物存在性 质A,是指具有性质A,并不意味仅有性质A,即还可能有性质B.因此，当承认文［2］中 “存在”二字合理性时，就不应产生“仅有”之类的误解. ②文［2］中所指集合应该具有任意性，那么断言“存在”哪一属性或全部三种属性都 不准确，只能说可能存在属性有三种，或假定存在那一种属性.恰恰是在“包含”或“相等” 成立时有“了集”关系存在，第三种情形无“了集”关系. 2. 关于文［1］中的1.2 在文［2］中表明“根据的图象与y2的图象关于y轴对称，就可以画出y2「 的图象文［1］认为对称性的“断言”缺乏根据，“讲述不确切不妥当”，赞同“在旧教材 中对两个函数均用描点法画图象，不提它们关于y轴对称的事实”. 笔者认为既然文［1］承认有对称的事实就有据可依，新教材提出就比不提好.因为利用 函数间相互关系及已知函数y2,图象求未知不仅避免了方法的单一，还有助于认识函数之 间的关联性质.至于两个函数的对称性依据，一方面由新教材表述的要理解两点关于y轴对 称的意义，即尸2,图象上点（X。，2、。）与尸上点（一而，2。），另一方面也可构造联结两 函数关系的新函数是对称函数.因此，个人认为新教材在关于此问题的处理有助于对学生素 质的培养锻炼，如果说是表述不细，这也恰恰给学生留出发挥个人潜能的想象空间. 3. 关于文［1］中1.3 新教材在说明函数尸2而图象与函数尸2,图象之间关系时，使用了 “将指数函数y2* 的图象向左平移1个单位，就得到函数y2、E的图象”.文［1］认为“不知这种图象平行移 动的规则从何而来根据是什么该书此前未讲过函数图象平行移动问题，这里又不是根据 用描点法作图后提到的认识，而是把它作为已知结论直接加以运用，显然是不够科学妥当的”. 笔者认为新教材采用的结论是科学的.至于它的依据学生可以从描点法去得到，函数图 象的平移作为点变换的整体思想在初中阶段介绍抛物线（一元二次函数图象）时就已接触过， 而教师的挖掘教材除描点法外，更应从平面上点的正交变换及平面直角坐标系转换关系等多 种角度与视野去领悟，并根据学生整体实际去适度解释.教材不必要（也不可能）把每一步都说 得让学生明明白白，更何况倡导素质教育，注重能力培养锻炼呢 4. 关于新教材增加“映射”概念 文［1］认为新教材中增加“映射” 一节学生难于理解掌握又用处不大，“增加学生理解 和记忆上的困难及负担，谈不到有什么真正的提高”，用“’映射’的观点去理解函数概念无 必要又事倍功半”，“连五六十年代包括综合大学数学系在内的学生在学习微积分时也都是用 单值对应去理解函数概念的”. 笔者认为“映射”是近现代数学中极为重要的概念，几乎在数学的各个分支都有它的存 在和使用.在学习了抽象集合的内容基础上，给予“映射”严格的数学定义不仅可行而且必 要.且不说“映射”在不同学科有着“对应”“变换” “函数”“算了”之类的同意语言，并把 “定义域” “值域”从数域的局限拓广到一般集合，更重要的是克服了早期函数定义中不够 准确的现象.函数的语言开始于GW.Leibniz,他没有给予明确的定义，但认为和0, 1等常数 不同，是考虑变动的量，和变数x同时变动的变数，如situ等，L.Euler把函数定义为 “由变数和常数组成的解析式”等等.早在1837年P.GDirechlet就已指出“y在全区间不仅 不必要随着同一法则与x有关，而且也不必要将其关系用数学解析式表示出来”其中的不精 确性，而逐步采用映射去定义函数.但是在过去一些教科书中仍有“设两个变量x, y按一定 法则，变量y随变量x变化而变化，称x为自变量，y为因变量，y是x的函数”，来定义函 数的语言，致使学生对函数y3中自变量的变化及ysincos中因变量的变化情况难以 理解.即使按文［1］所说的“五、六十年代高校微积分课，按单值对应”定义函数的方法， 目前看来也不够科学准确.就当时而言，在高中阶段及大学一年级还没讲述“集合”内容， 也就没有“对应”的严格数学定义.过去的“变量学说”定义函数的方法不够准确，对有些 函数也难以理解如上例，甚至也曾产生过误解，如函数yfx, f本应是函数关系，有些人 竟称/是函数.时代在发展，科学在进步，有了集合知识的准备，我们说用映射的语言，准确 深刻地反映了函数的实质.它对于学生认识函数的定义域、值域、反函数的定义及存在性乃 至进一步学习高等数学都是极其有益的.如果说初期某些学生理解它还不够深刻，那么总比 以不清晰的概念换取暂时的“容易”理解，待以后仍要对全体学生重新去定义要好得多. 5. 关于文［1］中标题4,标题5 文［1］标题4认为“新教材中第88页讲利用分数指数幕进行根式运算例5有如下结果 5_5 5住-5彳疔-妙时-5拆其中最后一步VF 5V5用的是根式运算规则，试 验本根式小节未讲过，显然也是不妥当的”. _5_5 笔者认为此式写成5伍-54 疔-5竹比较好，因为已知分数指数蓦与根式的转 5］_ 化，便有5彳5x545VL即使写成暗5抠也不能就断定是利用了根式运算，因 为已知分数指数幕与根式的转换关系及分数指数幕运算规则时,可以利用分数指数蓦运算规 则得到VF 55 . 文［1］标题5 “有关数学符号混淆的问题”下，举例如“集合A与全集的并集等于A”, “传统符号为AUIA,而试验本符号则为AUUA”以示说明“全集”符号现有不如 原来的“I”，尤其在“并”运算下，容易产生混淆. 笔者认为本例是一个错误命题，此举不当，不知是作者为说明“并”符号“U”与“全 集，，符号，，〃，，的混淆局面刻意制造还是笔误.另外，就高中阶段涉及集合内容均属GCantor 朴素集合论，此意义下只须注意我们思考的对象都是完全确定的范畴之内的事物，不能虚幻 渺茫，漫无边际，即在确定的范围内展开讨论，这个范围通常称为全域Universe或称论域 Universe of discourse,这样看来“U”表示还是准确的.否则，“全集”这个概念不好定义， 同时也不存在包含所有元素的“全集”. 6. 结束语 就文［1］指出的新教材中科学性问题不存在. 教育改革倡导