固体物理部分概念

劳厄定理一组倒易点阵矢量Kh确定可能的X射线反射，衍射强度正比于电了分布函数的 傅里叶分量 劳厄方程Sk，-kKh 简正模在简谐近似下讨论晶格的本征振动。系统的运动最容易用具有一定波矢、频率和偏 振的行波来表示，成为系统的简正模，每个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是量子化 的。 晶体中的一个简正模对应一个频率调制的平面波，它的振幅只在格位的原子上定义，称为格 波。 群速度是介质中能量传递的速度。 定义格波的量子为声子。声子是晶格集体激发的玻色型准粒子，它具有能量和准动量。 晶体的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分，晶体热激发产生声子，晶格振动的能量 变化贡献晶格比热容。对于绝缘晶体，由于电子基本束缚在离子实附近，电子没有足够的自 由度参与晶格比热容的贡献。但是对于金属晶体，倘若价电子在点阵中是自由的，那么电子 就会对晶格比热容提供额外的贡献。 在q空间声子群速度为0的临界点（奇点）叫做范霍夫奇点，附近声子频谱存在局部平坦的 区域。 能带论只是一个基本的理论，它包含了以下三个基本近似 1. 绝热近似。在处理固体中电子的运动时，家丁离子实固定在格位上不动。 2. 单电子近似。用一个平均场来描写电子之间复杂的相互作用。这样系统中任一电子都存在 一系列定态，并进一步假设所有电了在这些定态中的分布满足费米狄拉克统计，各个定态自 然都要按哈特里-福克近似下的自洽方式选定，以使得可以与所有电子的最后分布相协调， 这样就把一个多电了问题简化为单电了问题。 3. 电子感受到的势场，包括离子实势场和电子自检的平均场，是一个严格的周期性势场。当 然，对于一个有限的晶体，应用波恩-卡门边界条件去协调。 布洛赫定理当平移晶格矢量R1时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子EXP（ik*Rl） 根据布洛赫定理，周期场中单电子波函数应该是一个调幅平面波，其中调幅因子为正点阵的 周期函数。它正好满足布洛赫定理。 与自山电子相比，晶体周期场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波， 它是一个无衰减的在晶体中传播的波，不再受到晶格势场的散射。 布洛赫波能谱特征 1. 对于一个确定的k,有无穷多个分立的能量本征值和相应的本征函数。 2. 对于一个确定的n, En（k）是k的周期函数，波函数也是，期中周期为倒格矢 3. 能谱成带结构必然有能量的上下界，使得一个n的不同k的所有能级包括在一个能量范 围内，因为晶体有宏观尺度，k的取值准连续分布，相邻分立能级相差极小，形成一个准连 续的能带。（能带就是一系列能级组成的带） 4. 能谱的对称性如果不考虑自旋轨道相互作用，在布里渊区中，晶体能谱具有与晶体点阵 相同的宏观对称性 5. 等能面垂直于布里渊区界面（等能面定义为在k空间，所有能量相等的k组成的曲面） 布洛赫定理是描述周期结构中，一切波传播特征的基本定理。表面上看，素和声子与电子的 能谱特征存在一些细微的差别。 1. 电了原则上存在无限多能带，但是对于声了只存在有限支频带。 2. 声子的波不是标准的调幅平面波，因为格波只在原胞中各格位原子上有定义，而电子的概 率幅必须在原胞中所有位置上有定义。 3. 同时格波不同于概率波，它的振幅是一个矢量，而概率波是标量。 4. u和A都具有正点阵的周期性。 近自由电子近似方法平面波法的收敛性较差；假定周期势场的空间变化十分微弱，6V是 小量，电子的行为十分接近自山电子，6 V可作为微扰处理，这就是近自山电子近似。 所谓布里渊区就是，在k空间确定了一系列的平面，这些平面就是倒格矢Kh的垂直平分面 将k空间分割成若干区域，其中包含原点的最小闭合空间称为第一布里渊区，完全包围第一 布里渊区的若干小区域的全体称为第二布里渊区...以此类推。每个布里渊区的体积恰好等于 倒格子原胞的体积，而第一布里渊区就是倒点阵的w-s原胞。 根据近自由电了近似，当k矢量落在布里渊区界面上时，电了能量发生突变，形成宽度为 2IVKhl的能隙，因此属于每一个布里渊区内的k状态准连续分布，构成一个能带。每个能 带所能容纳的状态数为2No 两个能带之间存在一些相当大的能量间隔，在这些能量区间内，不存在薛定得方程的本征解， 称为禁带。 有的时候，虽然在布里渊区界面上都存在能隙，但不同k方向的能带有交叠，因此在某个k 方向不允许的能量状态，在另一些k方向却允许存在，从能量轴上去看无禁带。 根据近自由电子近似，能隙在布里渊区界面上产生，当k落在其界面时，存在一个与它相差 一个倒格矢的状态k，，它们的能量相等，这就是布拉格反射条件。晶体中电子波的布拉格反 射是能隙的起因。但是当电了的波矢裸在布里渊区的界面，满足布拉格条件时，是否一定产 生能隙，那还决定于相应的周期是的傅里叶分量是否为零。它就是晶体的几何结构因子。当 其不为零时才产生能隙。 在近自由电子近似中，波函数仍然是一个调幅平面波，但是波函数和能谱并不是倒空间的周 期函数，属于不同能带的状态，分布在不同的布里渊区内。严格地说，周期势场中单电子的 状态应该用简约波矢去标志，它被限制在第一布里渊区内。为了区别不同的态，必须引入一 个新的量子数n,称为能带序号。 像近自由电子近似那样，将不同的能带画再不同的布里渊区内称为扩展能区图式。 将所有能带绘于第一布里渊区内，称为简约能区图式。 在每个布里渊区中绘出所有能带，称为周期能区图式。 家丁晶体中每个原子的势场对电子有较强的束缚，电子的行为十分接近孤立原子中的电子， 这样可近似地用孤立原子的定语波函数作为旺尼尔函数。由原子的轨道波函数线性组合得到 晶体中公有化轨道波函数，称为紧束缚近似。说这是一种近似，那时因为不同格位孤立原子 的波函数并不政教，除非这些波函数之间的交叠很少。交叠积分仅为格位差的函数。当N 个原子形成晶格时，由于近邻原子波函数的交叠，N重简并消除，展宽成能带，N个简并孤 立原子局域态变为N个由不同k标记的扩展态。电子退局域，动能将降低。 原子之间波函数的交叠积分越大，能带宽度越宽。相对而言，外层电子的波函数交叠较多， 对应的能带较宽，而内层电子所对应的能带较窄。 平面波收敛性差的原因固体中价电子的波函数，在粒子实区以外是平滑函数而在离子实区 有较大的振荡，以保证与内层电了波函数正交 原则上，固体能带可分为两类，一类是内层电子的能带，是窄带，可用紧束缚波函数来描述。 另一种是外层电子的能带，它是一种宽带。 对于导带或价带电子，离子实区和离子实区外是两种性质不同的区域，在外面电子感受到弱 的势场作用，波函数的平滑的，很想平面波，而在离了市区由于强烈的局域势作用，波函数 急剧振荡o因此最好用平面波与可曾能带波函数的线性组合来描述价带和导带电子的布洛赫 波函数。 正交化平面波IOPWk＞称为正交化平面波，它必定与内壳层能带波函数正交。 正交化平面波法与平面波发的不同的是，用有效势u代替了真实势。它的第一项来源于真 实势，是负值，第二项来源于正交化手段，是一个正量。山于正交化手续要求波函数必须有 内层电子波函数正交，它在离子实区强烈振荡，动能极大，实际上起一种排斥势能的作用， 它在很大程度上抵消了离子实区V的