固体物理能带理论练习题

能带理论-练习题 袁建勇 1 .布洛赫函数满足p（r 何以见得上式中A具有波矢的意义 ［解答］人们总可以把布洛赫函数伊侦）展成傅里叶级数 p（r） a（K‘匕）次时， h 其中是电子的波矢。将伽r）代入 内虬岸心*） 得到eik，R eikR 其中利用了 Kh・R2pjv（p是整数），由上式可知，k k,即上具有波矢的意义。 2.波矢空间与倒格空间有何关系为什么说波矢空间内的状态点是准连续的 ［解答］波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为们，久，，而波 矢空间的基矢分别为N］ , b2/N2 ,b3/N3 , N\ , N] , N3分别是沿正格基 矢％ ,缶，。3方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为b［・（如xZ3）Q*, 波矢空间中一个波矢点对应的体积为虹（虹己冬）宣 N［ N2 N3 N 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N o 由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体 积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间 内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 V（x） Z*e fl 3.一维周期势函数的傅里叶级数，，中，指数函数的形式是由什么 条件决定的 ［解答］周期势函数V（x）傅里叶级数的通式为上式必须满足势场的周 n 期性，即 V（x a） /*）x V（x） Vne nnn 显然 1 o 要满足上式，九必为倒格矢n。可见周期势函数Vx的傅里叶级数中指数函数 a J1E-i-jf--cosia-cos2Aa\ 4.已知一维晶体的电子能带可写成技〔88 J 的形式是由其周期性决定的。 式中a是晶格常数, 试求i能带的宽度；ii电子在波矢k状态时的速度。 ［解答］ 解 7 ,1 cos ka cos 2ka , 曰*。sm2J ma2 当S 0时，Emin 0, 当k-时，E 之力之 a 8 8 J ma晶格常数为。的一维晶体中，电子的波函数为 g ，c*x,求电子在以 a 上状态中的波矢。 ［解答］由式 可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 pk x a ekapk x o 由此得 5 口 口2 力2 △E Egx 一己硕2 ma 2方2 能带的宽度为当 ma nv |v,En n / 力 v sin 2 如一 4sin 如 4ma 徐晨辉 1. 利用能带理论判别导体 半导体和绝缘体。 ［解答］导体含有不满带；只有满带和空带的材料为非导体，其中禁带宽度大于5eV的材料 为绝缘体，禁带宽度为约广3eV的材料为半导体。【教材P53】 1 pk 尤 Q ZCOS-X 4Z] icos-x 7T aa ika -icos-x -cpk x e a 于是 ika 1 e - -1 因此得 k - a 若只取布里渊区内的值 71 a 土空 a k- a 土竺 a 则有k-7i I a Vx mW[b2 一工一 w2],当net-b 5 xna b 0, 当〃-Va b xna-b 其中 a 4b , w为常数，求出势能的平均值。 [解答]由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得 V -P/2 Vxdx 仁 Vxdx f -mW2[b- x2]dx 3 J-a/24b J-2b4b J 或 2 8b 3  b 1 -mW2b2 -h 6