基本不等式（夏）教学案例反思

3.4基本不等式向WB教学案例反思 2 第1课时 基本不等式教学案例反思 夏魏毅 ［教学目标］ 1. 知识与技能学会从图形中发现重要不等式，并用换元法得到基本不等式， 再从数上回到形用图形理解这个基本不等式的几何意义；能利用基本不等式进行 简单的应用。 2. 过程与方法学生动手拼图中发现不等式，然后从结构中观察换元出基本不 等式，再回到形中解释基本不等式的几何意义，突出学生为主体探究知识的过程。 3. 情感与价值通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯 和数形结合的思想。通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。 ［重 点］ 应用数形结合的思想认识理解基本不等式以及基本不等式的证明。 ［难 点］ 用图形来解释基本不等式的几何意义。 ［教学方法］ 启发、引导、讲解。 ［教学准备］ 实物投影仪，多媒体课件 ［教学过程］ 一、导入新课 （学生活动）让学生拿出事先准备的四个全等的直角三角形，自己动手拼一 下风车的图案。（教师活动）用课件打出风车图，并引导他们大胆尝试，极端考 虑拼出一些规则图形。并从中把学生拼的象赵爽弦图的找出用投影仪展示出来， 让大家共同观察，趁机向学生介绍赵爽以及用课件展示24届国际数学家大会会 标。 （设计意图让学生从活动中发现数学，激发学习数学的兴趣,并激发爱国热情。） 问你们能在这些图中找出一些相等关系或不等关系吗如何寻找 引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 问同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练 习，请同学们用不等式表示上述相等或不等关系。为了表示方便，我们可设直角 三角形的两直角边的长分别为0,力。 （提问学生，并得出理想结论） 问如何证明a2b22ab,当且仅当a b时取等号。 让学生想基本不等式的证明由a2 b2 -2ab （a-b）2 0 ,所以 a2 b lab 当且仅当（a-b）2 0 ,即a b时取等号。 ［板书］一般的，对于任意实数。,力，都有a2 b2 2ab,当且仅当ab时 取等号。 引导学生从重要不等式的结构中观察，能不能得出其它一些式子（XY, 则X“2, a 4x ）从而引出不等式ab2 2脱，观察这个式子的右边两是 前面我们学过的等比中项，那还有一个什么中项呢引导提示学生把右边的2 除过来，从而得到基本不等式。 （反思引入别致，学生兴致很高，思维也很活跃，找出了各式各样的相 等或不等关系。但时间上有些长了。） 二、.新课探究 ［板书］若”0，0,则M 0 ■,当且仅当a b时取等号。 2 （让学生自己证明一下） 刚才我们从拼图中得到重要不等式，用换元法得到基本不等式，那么我们 能不能用形来解释一下基本不等式呢 （设计意图从形到数再从数到形，进一步认识基本不等式） 即思考4ab 有什么几何意义（引导学生探究下面的问题） 2 重要不等式我们用赵爽弦图，从面积的角度去刻画，除了用面积之外我们 还可以用什么来刻画这个基本不等式呢（引导学生想到用长度） 既然想到用长度，那分别用两条线段来表示数a和数b,找a与b和的一 半，既线段ab的中点处，那么面用怎样的线段来表示呢 启发引导学生x用来代换两，则从x4ab中自然想到平方，即x2ab, 即三2,初中用什么知识来刻画比例呢（引导学生想到用相似三角形，以线 a x 段a,b的接点处做垂线，从相似的角度出发引出三个直角三角形。从而得到基本 不等式的几何意义。 ［板书］4ab 的几何意义半弦长不大于半径长 2 评述1.如果把皿看作是正数a、力的等差中项，面看作是正数公力的等 2 比中项，那么该定理可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称b的算术平均数，称同为a、b的几何平 2 均数.本节定理还可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （反思这一部分是重点和和难点，特别是几何意义，学生想不到，因此 我采用了启发式教学并借助多媒体课件给学生清晰的分析，学生从而很容易理 解。） 三. 例题讲解 例1 （1）已知X、■都是正数，求证- -2； x y 变式思考已知X、y都是负数，上面结论是否成立 （2）已知x〉l,求证x -一 3 X 1 （基本不等式的简单应用） 例 2 已知 X0, y0, Z0,求证/逐2 退2 V y2 z2 yz Jz 亍 ZX （设计意图用形来简单构建证明不等式） 思考已知X0,当X取什么值时，X 的值最小 X （设计意图不等式和函数之间的联系以及用怎样用基本不等式求函数 的最值。引出下节课的内容） （反思例题的设计虽然很全面，很到位，但例2基本上课堂上是完成不了，另 外思考题也是在课下思考了，原因是前面的引入占了时间。如果事先让学生们先 制做好并先在课下找一找关系，课堂上只是提问就好了。） 四. 小结 （1）知识小结 认识了基本不等式7的由来，以及它的几何意义，简单应用等。 2 （2）思想方法小结数形结合，构建主义。 五. 作业P100A组1、2 课后反思这是一节完整的数学课，设计别致，效果很好，但如果在时 间上再兼顾一下的会更加好。