中考数学复习指导：探析一类图形变换问题

探析一类图形变换问题 图形变换体现运动变换的理念与思想，对发展学生的空间观念有极大的帮助.在初中 阶段，主要涉及四种图形变换，本文拟对一类图形变换问题作分析、探讨，并作适当融合 变化，达到深刻理解和灵活掌握的目的. 一、平移翻折 例1在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，0A3, 0B4, D为边OB的中点. 1若E为边0A上的一个动点，当ACDE的周长最小时，求点E的坐标； 温馨提示如图1,可以作点D关于x轴的对称点D，，连结CD，与x轴交于点E,此 时ACDE的周长最小的，这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标. 2若E、F为边0A上的两个动点，且EF2,当四边形CDEF的周长最小时，求点 E、F的坐标. 简析第1问是典型的“将军饮马问题； 第2问的本质是要找到使DE CF的值最小的E、F两点.假设符合要求的点E、F 两点找到如图2,则将点C沿CB向左平移两个单位到G点后，就可将问题转化为第1 问“将军饮马“问题了.因此，第2问就是在原来翻折变换的基础上有机融入平移变换， 推陈出新，从而有效考查了学生分析问题、解决问题的能力. 二、旋转位似 例2如图3,在平面直角坐标系中，ZAOB90 , ZOAB 30 ,反比例函数yi X 的关系正确的是（） Am3n Bm V3 V3 V3 Cmn Dmn 3 3 过点A,反比例函数y2的图象经过点B,则下列关于m, n ,再以该点为位似中 例3（2013年湖州中考题）如图4,已知点A是第一象限 内横坐标为20的一个定点，AC_Lx轴于点M,交直线yx 于点N.若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB 30 , BA PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当 点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 简析 例2、例3两题的本质，就是将某个图象绕某点旋转90。 心缩小到原来的吏，都是融合了旋转变换与位似变换而成的新题. 3 三、推陈出新 4 例4如图5,点A是双曲线y一在第一象限上的一动 x 点，连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰 RtAABC,点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置 也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解 析式为 简析连结OC,根据等腰直角三角形的性质可以得到OAOC,且OCOA.所以 点C是由点A绕点O逆时针旋转90。得到的，因此，点C运动所形成的图象实质就是原 双曲线在第一象限的那支曲线绕点O逆时针旋转90得到的.所以，上题的实质是借助 等腰直角三角形的性质来考查旋转变换. 变化一将题中的等腰直角ABC变为等边AABC,其余条件不变（如图6）.此时, 仍有 OA_LOC, ffi 0C V3 0A. 简析 本题是在上题中旋转变换的基础上融入了位似变换，难度加大，但运算量不大， 重在考查学生的思维能力. 变化二 将题中的双曲线改为其它封闭图形（如三角形、四边形和圆等），则对应的C 点运动所形成的图形也是一封闭图形，且该图形与原图形相似，这样，如果已知条件中给 出原封闭图形的周长或面积，则结合相似形的性质，就可以求出点C运动所形成的图形的 周长或面积. 如图7, A ABC在第一象限，其面积为6.点P从点A出发，沿AABC的边从A-B -C-A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q,再以PQ为边作 等边三角形PQM,点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为. 简析 本题条件新颖，必须进行探索研究先根据题意判断（或猜测）点M随点P 运动所形成的图形是一个怎样的图形，然后再综合已知条件找出这个图形和已知的ABC 之间的关系，最后根据相关性质求出这个图形的面积.