中考数学复习指导特例入手化繁为简

特例入手化繁为简 特殊情形是一般情形在具体、特殊背景下的表现形式.若同学们能有效借助题目中的 信息，可通过选择特例，巧取动变中之一瞬或值，以小见大，以点带面，或捷足 先登，或得到启示，或发现问题，从而迅速破解问题. 一、特例助解捷足先登 例 1 若 Xi，X2Xix2是方程Xaxblab的两个根，则实数 x” x2, a, b 的大小关系为. A xiX2ab B xiax2b C xiabx2 D axibx2 析解无论选择哪一个答案，都意味着xi，X2，a, b的大小排列有一个固定顺序，由 此可令a 1, bl,则原方程变为 x1X1 1, 即 X2 2,解之，得 X1 V2 , X2 V2 . 故有 Xi vavbvx2，选 C. 例2如图1,梯形ABCD中，AB/7CD,点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点， 已知两底差是6,两腰和是12,则AEFC的周长是 . A8B9C10D12 析解 结论是确定的数据，而图形却有很大的“随意性”，这说明图形在不改变题目 内涵的情况形下运动变化时，EFC的周长为定值.结合已知中“两底差是6,两腰和是 12”，可将图1 “特殊化”为一个正三角形，如图2所示，其中三边长均为6.借助三角形 的中位线，极易得AEFG的周长是9,选B. ，4B 点评以上两例，一个代数题，一个几何题，直接处理，难度都很大，但由于从题目 包括已知条件、待求结论和图形中提取出一些暗示信息，实现了速解.“特例法”展 示了数学思维的简洁之美，是一种有效的策略. 二、特例探路退中求进 例3如图3,在平面直角坐标系中，已知点A0, 2,点P是x轴上一动点，以线段 AP为一边,在其一侧作等边当点P运动到原点0处时，记点Q位置为B. 1 求点B的坐标； 2 求证当点P在x轴上运动P不与Q重合时，/ABQ为定值； 3 是否存在点p,使得以A、D、Q、B为顶点的四边形是梯形若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 图3 析解 此处仅关注第2问.题目让证明“/ABQ为定值”，如果能事先知道这个定 值是多少，就能有的放矢了，关注到图形具有很大的随意性，且这个随意性是由点P运动 引发的，可以让点P运动到一个特殊位置当点P在点0左侧，且ZPAO60时，点 Q落在纵轴负半轴上，此时，在ZkABQ中，AB|aQ, ZBAQ60 ,容易判断ZABQ 90。.即所求定值为“直角”，思维目标被锁定通过进一步探索，可以证明左APOM AAQB并完成推理 易证 APAQ, AO AB, 且ZPAOZQAB 60 -ZOAQ, 或 60 -ZOAQ,或 60 -ZPAB,或 60 ZPAB 即左APOAAQB总成立, ZABQZAOP90 总成立. 点评对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线（向）”为特征的数学题，可以通过 “主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维思维方向，迅速实现问题解决.“特例探路，巧锁 目标”实质上是一种“以退求进”的策略一一退中悟理，执理而进.这样，就大大避免了 探索的盲目性，使思维过程优化变短，显得简洁明快. 三、特例查错事半功倍 例4先化简，再求值 3x 4 __x2 -1J X 一 2x 1 I r 4 0 其中是不等式组的 整数解. 析解 本题化简正确是关键一步.若化简原式 x 6 x lx 2 正确与否可取特殊 值x0来检验，结果原式1,而 x 6 x lx 2 显然化简出错，必须纠正. 例5图4是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为 常数），第2个图中阴影部分是由连结菱形各边中点得到的矩形和再连结矩形各边中点得到 的菱形产生的，依此类推则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 （nN2,且n是正整数）. 析解若得到结果为,正确与否可取特殊情形检验，把菱形特殊化为正方形, 则第2个图中所有小块的白色或黑色的三角形均是全等的，易得其中阴影部分面积为 -，这与［上］上不符，说明结果错误，需要重新修正处理. 16 416 点评对于运算或推理上出现纸漏而导致的结果错误，有时用一般的检查方法较难奏 效.而借助思维简单明朗的特例检查，查出错误的机率会大大增加.尤其如因式分解、代 数式化简等数式变形，运算结果应与原式恒等，可用特殊数值代入比较，查验对错.此法 对一些几何问题查错也有效，虽然特例只能查错，纠错要另外进行，但及时发现错误是重 要的，需注意的是 1 特殊值、几何特例的选取要易于计算与推证； 2 特殊值、几何特例应在题目允许范围内； 3 特例成立时并不等于原结果一定正确，如a2时，2a和a是没有区别的，ln n 为整数与n无关，等等.