实际问题与二次函数知识讲解基础

实际问题与二次函数学问讲解基础 实际问题及二次函数学问讲解（基础） 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简洁的实际问题，培育分析问题、解决问题的实力和应用数学的意识． 2.经验探究实际问题及二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 【要点梳理】 要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题及列整式方程解应用题的思路和方法是一样的，不同的是，学习了二次函数后，表示量及量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要留意以下步骤 1审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量及变量之间的基本关系是什么，找出等量关系即函数关系． 2设出两个变量，留意分清自变量和因变量，同时还要留意所设变量的单位要精确． 3列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． 4按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5检验所得解是否符合实际即是否为所提问题的答案． 6写出答案． 要点诠释 常见的问题求最大小值如求最大利润、最大面积、最小周长等、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤1恰当地建立直角坐标系；2将已知条件转化为点的坐标；3合理地设出所求函数关系式；4代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5利用关系式求解问题． 要点诠释 1利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去探讨问题.在探讨实际问题时要留意自变量的取值范围应具有实际意义. 2对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题 ①首先必需了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值 1.（2015东海县二模）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发觉，该商品每天的销售量y（件）及售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60） （1）求每天销售量y（件）及售价x（元/件）之间的函数表达式； （2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）及售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大最大利润是多少 【思路点拨】 （1）分别利用当20≤x≤40时，设yaxb，当40＜x≤60时，设ymxn，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用（1）中所求进而得出w（元）及售价x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最值． 【答案及解析】 解（1）分两种状况当20≤x≤40时，设yaxb， 依据题意，得， 解得， 故yx20； 当40＜x≤60时，设ymxn， 依据题意，得， 解得，故y﹣2x140； 故每天销售量y（件）及售价x（元/件）之间的函数表达式是 （2）， 当20≤x≤40时，wx2﹣400， 由于1＞0抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40， 因此当x40时，w最大值402﹣4001200； 当40＜x≤60时，w﹣2x2180 x﹣2800﹣2（x﹣45）21250， 由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60， 所以当x45时，w最大值1250． 综上所述，当x45时，w最大值1250． 【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键； 2．在实际问题中遇到最大小值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解． 举一反三 【变式】（2015营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发觉当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 【答案】22. 【解析】 解设定价为x元， 依据题意得y（x﹣15）[82（25﹣x）] ﹣2x288x﹣870 ∴y﹣2x288x﹣870， ﹣2（x﹣22）298 ∵a﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x22时，y最大值98． 故答案为22． 类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 2．如图所示，某马路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． 1干脆写出点M及抛物线顶点P的坐标； 2求这条抛物线的解析式； 3若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少 【答案及解析】 1M12，0，P6，6． 2设抛物线解析式为． ∵ 抛物线经过点0，0， ∴，即． ∴ 抛物线解析式为，即． 3设Am，0，则B12-m，0，C，D． ∴ 支撑架总长 ． ∵ 此二次函数的图象开口向下． ∴ 当m＝3时，。ADDCCB有最大值为15米． 【点评】依据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设Am，0， 用含m的式子表示支撑架总长ADDCCB，依据函数性质求解． 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 3．某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体看作一点在空中的运动路途是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线图中标出的数据为已知条件．在跳某个规定动作时，正常状况下，该运动员在空中最高处距水面m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必需完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿态，否则就会出现失误． 1求这条抛物线的关系式； 2在某次试跳中测得运动员在空中的运动路途是1中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿态时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误并通过计算说明理由． 【答案及解析】 1在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为． 由题意知，O、B两点的坐标依次为0，0，2，-10，且顶点的纵坐标为． ∴ 解得 或 ∵ 抛物线对称轴在y轴右侧，∴， 又∵ 抛物线开口向下， ∴ a＜0，b＞0，∴，，c＝0． ∴ 抛物线关系式为． 2当运动员在空中距池边的水平距离为m时，即 时，． ∴ 此时运动员距水面的高为m． 因此，此次跳水会出现失误． 【点评