非线性数学期望在金融风险中应用

非线性数学期望在金融风险中应用 摘要本文以F-期望为例，分析F-期望在金融风 险度量中的应用，根据金融风险度量的性质，运用数学期望 分析保险中风险度量。 关键词非线性数学F-期望金融风险度量保险 2008年，金融危机席卷全球，许多世界著名的投行纷纷 倒闭。全球金融危机使人们对加强风险管理的重要性有了前 所未有的认识。怎样度量市场中的风险成为学术界和金融领 域关注的热点。本文构造了 一种相容非线性期望F-期 望，这种期望是通过具有无穷小生成元的全非线性抛物型 偏微分方程生成的马尔科夫过程引入的。我们通过F-期望定 义某空间X上的金融头寸X的风险度量。 一、F-期望的性质 一F-期望的单调性和平移不变性 定理1. 1 假设■对F成立，那么F-期望对任意■满足 1 单调性如果■,那么，■; 2 保常数性对任意常数C,那么，■； 3 平移不变性 因此，不等式■成立 对函数■,验证■ 对所有的■和■满足■由■最大值原理得到 ■,因此，■成立。 （二）F-期望的次可加和正齐次性 定理1.2 （F-期望的次可加）假设■对F成立，那么，下面两 个条件等价 （1）■是次可加的； （2）F是次可加的，■对任意■和■ ■ 由条件（1）可知，对两个函数■和■, ■ 因此，对・ 令t趋于0, ■ 由■的定义，对任意■ 令■可得，■ （2） ■ （1）证明（i）,只需证明对任意■和■ ■ 记・ 因此，■是■带有初值条件■的黏性解 由・ 其中， ■ 因为F是次可加的，■,故■是■的上解，可得 ■ 记・，因此，■是■带有初值条件 ■的黏性解，由・ ■ 其中， ■ 因为F是次可加的，■.因此，■是■的上解，由比较 定理可得■ 二、静态风险度量与F-期望 我们假设■已经定义空间 ■ 其中，代表函数4）的线性空间，4）满足■ ■ 其中，■且■依赖于4）o本节主要是分析F-期望引导 出的风险度量和生成元素F的关系。 定理2. 1 假设F满足■,如下定义・ 那么■被称为F-期望引导出的静态风险度量。 定理2. 2 假设F满足■,风险资产空间为・ 若■为■中定义的F-期望引导出的静态风险度量。那么 下面三个条件等价 （1）■是一致性风险度量 （2）F-期望■满足次可加性和正齐次性 （3）F满足次可加性和正齐次性 证明当F满足■,由F期望的单调性和平移不变性， 由一致性风险度量的基本要素，知（1） ■ （2）成立。 定理2. 3 假设F满足■,风险资产空间为・ 若■中定义的F-期望引导出的静态风险度量。那么下面 三个条件等价 （1）■是凸风险度量； （2）■是凸的; （3）F是凸函数。 三、动态风险度量 条件F-期望的性质与F-期望的性质相似，所以静态情 形下风险度量的结论可以自然的扩展到动态情形。根据风险 度量的定义，我们研究金融寸头x在初始时间0和终端时间 T之间的任一时刻t的风险 定义3. 1 我们称■为动态风险度量，它满足 1 ■ 2 ■是静态风险度量； 3 ■ 定义3. 2 动态风险度量■称作动态一致性风险度量，如果对所有 ■和■满足 1 动态单调性■ 2 动态次可加性■ 3 动态正齐次性■ 4 动态平移不变性■其中B是x中■可测随机变量。 定义3. 3 动态风险度量■称作动态凸风险度量，如果对所有■和 ■满足 动态单调性■ 动态凸性■ 动态平移不变性■其中，B是x中■可测随机变量 定理3. 4 假设F满足■,风险资产空间为■若■为式 中定义的F-期望引导出的，那么下面三个条件等价 （1）■是动态凸风险度量 （2）■是凸的; （3）F是凸函数 连续时间递归性的金融意义是为了量化X时刻在s的风 险。下面两种计算金融风险的途径是等价的。 （A）直接计算・ （B）分两步计算■,首先计算X在时刻t的风险■, 然后计算在■时刻s的风险■ 四、实证分析 通过上文分析及相关理论可知，风险度量指标满足随机 占优单调性、次可加性、正齐次性、连续性等原则。 保单持有人通过合理的投保方式，有效地降低风险。投 保后，自己的大部分风险转嫁给保险公司。对保险公司和投 保人来说，怎样的保费额度是合理的保险公司保证稳健 发展所需收取的保费的最低额度是多少投保人愿意为转 嫁风险而支付的最大成本是多少对投保人来说， 他可能损失5000的概率是0. 01。他选择购买一份保费为100 的保险。如果风险发生，那么保险公司会足额的赔偿投保人 所承受的损失。即如果损失的情况发生了，投保人会获得保 险公司5000元的赔偿。那么，投保人在投保后和投保前是 不同的 状况I损失保费额100的概率是I； 状况2以0. 01的概率损失5000,以0. 99的概率获得; 对于保险公司来说，接受了投保人的保险后是 状况3损失4900的概率是0.01,获得100的概率是 0. 99； 通过计算，Fgl970. 4, Fg2100, Fg3941. 7 通过计算可知，投保人在保险前后所面临的风险得到了 显著的控制。通过F gl可知，虽然投保人面临的可能损 失高达5000,但是他所面临的风险的不足最高损失的l/5o 如果我们预期gl的状况会发生，我们需要预留的最低资本 为970.4元。当损失发生时预留资本并不能弥补所有的风险 暴露，也就是说F不能成为经济资本的一个衡量值。 通过Fg2,当保险公司全额赔付时，投保人在投保后 所面临的风险等于保费。如果保险公司没有全额赔付，而是 赔付损失的大部分。那么，投保人在投保后所面临的风险应 该略大于保费。 状况4损失100的概率是0. 99,损失600的概率是0.01； g4说明保险公司在损失发生时只赔付损失额的90的损 失额，即4500元。F g4 141,风险增加了，但增加的绝 对数额并不大。对于投保人来说，他愿意承担的最高的保险 额度基本上就是由他的风险承受能力所决定。并且，保费额 度略低于他所愿意承担的最大风险值。 F gl和F g3,两者的数额差异不大。通过保险, 投保人将风险几乎完全转嫁给了保险公司。但是，F gl