非线性方程组求解牛顿迭代法用MATLAB实现

1.二元函数的newton迭代法理论分析 设z f（x,y）在点（％）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导 数,3， ）为该邻域内任意一点，则有 g h,yQk） f（x0, y0）2, y） k f{x, y）| ox 1 dy 1 其中 h x-x0 , k y-y0 于是方程/（x,y） 0可近似表示为 8d f3k，贝） hf（x,yxXk kf（x,yyyt 0 即fSk，处） 3一他）尤（改，处） （y处）（改，光）。 同理，设z g（x,y）在点（％川）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续 偏导数，（吒 /,/）为该邻域内任意一点，亦有 aa g（x h,yQ k） g（M，y0） h g（x, y）|kg（x, y） ox 1 dy_ 其中 h x-x0 , k y-ya 于是方程g（,y） o可近似表示为 aa 1 g（Xk，） hg（x,y） kg（x,y）。 dxdy _ 即 g（Xk，a） （xM）gx（M，） （y a）gy（M，a）。 于是得到方程组 Jf3k，） 3-M）人（改，％） （/-光顼（改，无）。 [g3k，）3从）（从，贝） （/一）务（改，％）。 求解这个方程组，当 Sx（xk,yk）fy（xk,yk）-fx（xk,yk）gy（xk,yk）O 时 ,/（ yk）gy （改，） g（xk, yQfE, yk） x xk-\ gx（改，）儿（改，） 一尤（改，％）gy （改，） y 家孔，）兀（勤，％）- k gjx 号％），（X 号％） 一 （X 号％）gv（X 号％） 从而 ..,fk，ygy，V J - g（xk, y J/v （xA., yk） X Xk I （X, yA）/v X, ） f*, ）g,（X, yk） y gX，）九（改，） fg ）g*（X, ） 、 k gxyjfy（xk,yj-fx（xk,y J gy（xk,y J 记符号 耽一底x| g,） gg, yk）fx （改，刃）一 了 E yk）gx g,） fgy 一矿|（必）fg,yk}gyg,yk）g（xk,yjfyg,yk） gjy - f，SyLyk ）弘（心，k）fy（X， ） fE yk ）gy（X，H ） 于是⑴式可改写为 X xk -\- y yk （2） S xfyfxS y （*,〉*） 迭代公式为 Xk1 五 yki 处 fg、-o* ,方 g a- fy fx Sy xk ,yk Sfx fgx 通过迭代公式（3）可以迭代出当k 12时，（％山）的值，当 \（xk l,yk l）\6 （50为给定的误差控制项）时，原方程组的根即为 （）。 2. newton迭代法求解给定的线性方程组 方程组 y O gx, y O 其中 /x, y a r c t art什 j3/2 -4-1 gx,y e xp/ y 4 求解过程如下 f 1 建3 3产 Jx3 l x1/3 y3/2-42Jy2 l x1/3 y3/2-42 g* -2x3 exp A--2 y-2gy 2/3 expx 2 y 于是迭代公式为 Xk1 无 T f g y sf y | X左，必 S Xfy - 苗x - fxS y | Cxk,yk -fgX | X/c，* y k S Xfy - -fxS y | Xk -ytc 为了解出正负轴的两个解，需要对函数f进行变形。 f tanl 4- 53 -x 兀T 32 J. fy 3tan⑴ 4y22 x--xy2 3.MATLAB编程实现过程 先画出函数图像找出大概位置 ezplotexpxA-2yA-24,[-6,6,-6,6]画出函数 g y2.40.0013.8; xtan ⑴4-yC3/2C3; hold on plotx,y画出函数f x 将图放大观察 由图可以看出两个交点的大概位置是（-1,3.4）和（1, 2.6） o 所以将这两个点作为初始值进行迭代计算，MATLAB编程如下 for ml2;循环两次计算出两个解 if m2 xl； y2.6; else x-l； y3.4; end xkO; ykO； i0; tl； while t0.000001设置计算精度 iil; ftan ⑴4-y*3/2人 3-x; gexpx*-2y 八-2-4; fx-l; fy3*tanl4-yA3/2A2*-1.5*yA1/2; gx-2*xA -3 *exp xA -2 yA -2; 豹二一 2*yW3*expx1- 2y 丫 2; xkxf* gy-g*fy / gx*fy-fx* gy; tabsxk-x; xxk; yyk; end sprintf,id\nx8.8f\ny8.8f,i,x,y 输出计算次数及计算结果 end 计算结果如下图所示 ans i5 x0.89251021 y2.76374983 ans i5 x-0.87567930 y3.48795230 计算精度为0.000001,迭代5次计算出结果