高中数学复习学案(第51讲)平面

题目*第九章B直线、平面、简单几何体平面 高考要求 1. 理解并会应用平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图. 2. 掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法 3. 会作几何体的截面图. 知识点归纳* 1. 平面的概念 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性. 2. 平面的画法及其表示方法 ① 常用平行四边形表示平面.通常把平行四边形的锐角画成45。，横边画成邻边的两倍.画 两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或 不画， ② 一般用一个希腊字母a、”、r来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来 表示如平面AC等. 3.空间图形是由点、线、面组成的. 点、线、面的基本位置关系如下表所示 图形 符号语言 文字语言读法 A a Aea 点A在直线a上. .A , Aa 点A不在直线a上. / A./ Aea 点A在平面a内. A、 / Aa 点A不在平面a内， ng aC\b A 直线a、b交于A点， a0a 直线a在平面a内. a / a[\a 0 直线a与平面a无公共点. a\ . x A/ aC\ A 直线。与平面a交于点A aC/3 l 平面a、 ”相交于直线〉 a a （平面a外的直线a）表示 0或aPla A 4. 平面的基本性质 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. A e al_.t-. Bea 推理模式\AB0a. 如图示 应用是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个 面是否是平面. 公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直来刻划平面的“平”，通过直线 的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方 法. nz且人右/且/唯一.如图示 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线. 应用①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上， 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平 面交线的方法. 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推理模式A,B,C不共线n存在唯一的平面a,使得A,B,Ca 应用①确定平面；②证明两个平面重合. “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个” 说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图 形的存在性，又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作 一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性” 和“唯一性”两方面来论证. 推论2经过两条相交直线有且只有一个平面. 推理模式aClb P n存在唯一的平面a,使得a,b0a・ 推论3经过两条平行直线有且只有一个平面. 推理模式allbn存在唯一的平面a,使得a,b0s 5. 平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个 内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形. 题型讲解 例1如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CO上，H在A。上, 且有 DF FC2 3, DH HA2 3. 求证EF、GH、交于一点， 分析只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共 jy F2/ / ] 面.在Z\ABD和ACBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及一可得EG - AC, FC HA 32 // 2 HF j AC,所以EG〃HF,直线EF, GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P,因 此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线AC上即可. 事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平 面的公共点，由公理2知PeBD. 证法一（几何法）连结GE、HF, .E、G分别为BC、AB的中点, .GE//AC. 又DF FC2 3, DH HA2 3, .HF//AC..GE//HF. 故G、E、F、丑四点共面. 又与GH不能平行， ..EF与GH相交，设交点为P. 则 PW 面 ABD, PeffiBCD,而平面 ABDH 平面 BCDBD. .EF、GH、BD 交于一点. 证法二向量法 由 W BG-BE BA--BC -BA-BC -CA 2222 - - 2- 2- 2 - - 2- FH DH DF DA DC -DA-DC -CA 5555 /. EG-EH ,从而前■〃京 4 故G、E、F、H四点共面. 又与GH不能平行， 「.EF与GH相交，设交点为P, 则FG面ABD, PC面BC。，而平面ABDC\平面BCDBD. .EF、GH、8。交于一点. 点评证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往 往是两平面的交线. 例2已知n条互相平行的直线IJ2,l3...,ln分别与直线/相交于点A” A2, An,求证 与/共面 分析证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线 在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合. 证法一因为/1C/A1,所以与/确定平面Q ,设/k是与/1平行的直线中的任一条直线， 且 lk n /Ak,则 /] 0 a ,Ak e a, ・.・/k〃/i,设Ik与h确定平面p，贝町0”,AkE P,因此/1与Ak既在平面a内又在平面P内， 根据公理的推论[知过/j和其外一点的平面有且只有一个，所以a和p重合，从而由人的任意 性知共面 证法二./1〃/2,/1〃/3 .I直线h和/2及直线A和/3分别确定一个平面（X和 11 C /Ai, l2 C /A2, Is C /A3, A1,A2 e a ,A2,A3 e P,/ u a,且 / u |3, a和B都是过相交直线和/的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个 心2,/3,/共面，同理可证/4,/5,-,/n都在由直线h和/所确定的平面内. AD （或其延长线）分 如图，已知四边形ABCD中，AB〃CD,四条边AB, BC, DC, 别与平面a相交于E, F, G, H四点，求证四点E, F, G, H共线. 证明VAB/7CD, ..AB, CD确定一个平面B, H都在B上， 与8的交线上， 器内装满水，M, 种原