高中数学必修4教案平面向量的线性运算

2.2平面向量的线性运算 ［教学目标］ 一、知识与能力 1. 掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形 法则作两个向量的和向量； 2. 能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 3. 掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可 以转化为向量的加法运算。 4. 理解实数与向量的积和它的几何意义； 5. 理解实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 6. 理解一个向量与非零向量共线的充要条件；会表示与非零向量共线的向量，能 判断两个向量是否共线 二、过程与方法 1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2 .体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题. ［教学重点］ 向量加法、减法定义的理解；实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条 件. ［教学难点］ 向量加法、减法的意义；向量共线的充要条件. ［教学时数］ 2课时。 ［教学过程］ 第一课时 ■＞新课导入 1. 物理学中，两次位移西后的结果与位移而是相同的。 2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得 3. 引入两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节 将研究向量的加法。 二、向量的加法 1.已知向量以，在平面内任取一点A,作AB a, BCb,则向量花叫做。与 的和，记作a方，即abABBCAC 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.I ,/\ \7\ 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连， | 首是首，尾是尾”。 以同一点。为起点的两个已知向量a,方为邻边作, 一3 aOABC,则以。为起点的对角线况就是a与方的和。我们 / 把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法/ 则。 对于零向量与任一向量a,规定aOOaa 例1已知向 a,b,用两种方法求作向量a方。 作法一在平面内任取一点。，作OAa, AB b,则OB ab. 作法二在平面内任取一点 ’做页s妇，以苏、 、I 。_0 . 面为邻边作 oOBG4,贝 U_A. I\\\\ 2. 共线向量的加法 思考当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系 ♦ 一. b .一m 12 归纳 1. 两个向量的和仍是一个向量。 2. 当％方不共线时，q万的方向与力都不同向，且|oA|vW|||. 3. 当。与万共线时， ⑴若。与万同向，则0方的方向与如力同向，且W|n|||. ⑵若。与力反向，当|。＞|方|时,0方的方向与q相同，且\ab\\a\-\b\\当||vg附, ab的方向与万相同，且\ab\\b\-\a\. 3. 向量加法的运算律 探究数的加法满足交换律与结合律，即对任意。，陀R,有 abba,abcabcf任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律 要求学生画图进行探索. 1 如图作dABCD,使AB a, AD b,贝BCb, DCa, SJAC ABBC ab, AC AD DC ab 所以，abba D 2 如图自平面内任一点A,作AB a, BCb, CDc, }Al5 AC CD AB BC aabc, ADAB BDAB BCCD a bc, 所以a方 cabc. 例2 一艘船以20 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h, 求船实际航行速度的大小与方向用与流速间的夹角表示。 解如图，设而表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，应表示水流的速度，以 AD, AB为邻边作平行四边形ABCD,则花就是船实际航行的速度， 在 RtAABC 中，|AB| 2km/h, |BC| 2/3 km/h,所以\AC\yj\AB \BC 4 , 因为 tanZCAB y/3 ,所以 ZC4B 60, 2 答船实际航行速度的大小为4km/h,方向与流速间的夹角为60。。 三、向量的减法 探究减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则 1. 相反向量 规定与。长度相等，方向相反的向量叫做。的相反向量，记作-a,显然 规定，零向量的相反向量仍是零向量。 2. 向量减法的定义 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a-a-aaO,所以，如果a、b是互为 相反的向量，那么a-b, b-a, abO, 定义a-ba-b,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 3. 运算法则 已知a、b,在平面内任取一点。，作OAa, OB b,则BA a-b,即a-B可以表示 为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 例3已知向量a、b、c、d,求作向量c-d. 解 例4在qABCD中，AB a, AD b,试用a、8表示向量 AC,DB. 解由向量加法的平行四边形法则可知AC ab, 由向量减法可知DB AB-AD a-bo 练习3课本P96练习1、2、3 练习4判断下列等式是否成立 ⑴ abba 2 a-bb-a 3 O-aa 4--aa ⑸ a-aO 四、小结与作业 1. 在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义； 2. 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角线形法则，并能做出已知两个 向量的和向量； 3. 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 4. 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量。 师生活动设计 师生共同总结、交流、完善. 回家作业 布置作业 第二课时 、新课导入 探究已知非零向量a,作出aaa和-a-a-a,并说明 它们的几何意义.* N M P 类似数的乘法，把。g〃记作3。，显然3a的方向与q的方向相同，3。的长度是。的 3 倍,即 |3|3||. 同样，・。 m 2二3 m,显然3m的方向与0的方向相反，3m的长度是a 的3倍，这样3 .g -3a. 师生活动设计 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。 二、讲授新课 1. 定义实数入与向量。的积是一个向量，称为向量的数乘，记作*,它的长度与 方向规定如下 1 I扁I二I人||。|; 2 当人＞0时，沏的方向与向量。的方向相同；当AvO