高中生数学建模

关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速 的关系的研究 1. 问题的提出 水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服 世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产。相 传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使 用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1700余年历史。 现代，水车作为一种古老而独具智慧的艺术品出现在我们的生活 中，人们在惊异古老智慧的同时，是否想过它身上所蕴含的数学问 题 图1 比如水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系 由图1可知，水车的高度具有一定的周期性，故，此模型应为研 究周期现象的模型。在研究过程中，不考虑其他影响水车转速或水流 速的因素。 为了更好地学习数学知识，并将它充分运用到实际生活中，我对此 问题想做进一步的研究。 2. 问题的分析 问题的条件有两点 1. 题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与 水流速的关系，属于周期现象。 2. 研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。 3. 模型的假设与符号说明 假设水流速为恒定值。 符号 说明 h 水车上一点距离水面的高度 V 水流速 W 水车的角速度 r 水车的半径 t 时间 b 水车圆心与水面的距离 a 水车上一点转过的角度 4. 模型建立 图2 如图2,水车半径为r,其中心。距离水面距离为b,规定水流速 为v,向左为正方向，任意一点P点距离水面的高度为h。 求h与v的函数解析式。 5. 模型求解 水流速即可看为水车的线速度，则由已知可得水车的角速度 wv/r. 为了方便，不妨从当0P与水面平行时开始计时，即从ON处开始计时, 在t时刻水车转动的角度 a wtvt/r ③ 如图2所示，过点P向水面作垂线，交ON于点Q,交水面于点A, PA即为点P距离水面的高度。 hPAPQQAPQOM① PQOP , sin a② 把②式，③式代入①式得 hr , sin t , v/r b 这就是水车上任意一点距离水面高度h与水流速v的函数解析式。 6. 结果分析 研究函数11 r , sin t , v/r b的性质 1 确定周期 T2 n /w2 Ji / t/r 2 Ji r/t 2 确定频率 fl/Tt/2 丸 r 3 讨论性质 当 vt/re [2kn-ji/2, 2kJi n/2] keZ, 即 vE [2k Ji r/t- Ji r/2t, 2k 丸 r/t丸 r/2t】kEZ时，函数递增。 当 vt/r E【2k 丸 丸/2, 2k 丸3 丸/2】kEZ, 即 vE [2k n r/t n r/2t, 2k 丸 r/t3 丸 r/2t】 kEZ时，函数递 减。 7. 研究拓展 如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心0与水 面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化。水面上涨时 参数b减小，水面回落时参数b增大。如果水流速度加快，将使周期 T减小，转速减慢时则使周期T增大。 8. 方案评价 1 .本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题，建立模型思 路清晰合理。 2 .简化了水车模型，计算起来更加简便。 3 .将研究结果进行拓展，增强了实用价值 4 .但在实际运用中还应考虑自然因素对水流速的影响，根据实 际情况进行灵活改变。 5 .面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能，通 过这个问题的研究，我更加熟练的掌握了把问题提供的“条件”逐条 地“翻译”成“数学语言”。