高三数学一轮复习讲座二函数

高三数学一轮复习讲座二函数 二、复习要求 1、函数的定义及通性； 2、函数性质的运用。 三、学习指导 1、函数的概念 1 映射设非空数集A, B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应，贝IJ称从 A到B的对应为映射，记为f AB, f表示对应法则，bfa。若A中不同元素的象也不同，则称映射为 单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。 2 函数定义函数就是定义在非空数集A, B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C fx |x EA｝为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域, 是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。 求函数定义域，通过解关于自变量的不等式组来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四 则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的 定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究 函数性质的基础和前提。 函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解 析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。 求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义, 间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数 最值极值更加方便。 在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析 式，借助于求函数值域的方法。 2、函数的通性 1 奇偶性函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简 解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f-xfx O,止义1 fxNO。 fx 奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。 函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。 2 单调性研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质实质上是不等式性 质；④复合函数单调性判断法则。 函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。 函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数 不等式等。 3 周期性周期性主要运用在二角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。 求周期的重要方法①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论若函数fx满足fa-xfax, f bxf bx, ab,则 T21 ab | o 4 反函数函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否 具备反函数，函数fx的反函数f「x的性质与fx性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单 调性等，把反函数f「x的问题化归为函数fx的问题是处理反函数问题的重要思想。 设函数fx定义域为A,值域为C,则 f「[fx]x, xA f[f-x]x, xC 2、函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图 象的工具作用。 图象作法①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。 4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应 法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。 对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法变量代换法解题。联系到具 体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。 应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。 5、主要思想方法数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。 四、典型例题 例1、已知fx 2 3 ,函数ygx图象与yf，xl的图象关于直线yx对称,求gll的值。 x -1 分析 利用数形对应的关系，可知ygxM yF x1的反函数，从而化gx问题为已知f x o I，yF1 x1 xlf y xfyT yf「xl的反函数为 yfxT 即 gxf x-l .I gllfll-1 2 评注函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当fx存在反函数时，若bfa,则af「b。 例 2、设 fx是定义在-8,8上的函数,对一切 xeR均有fxfx20,当-l〈xWl 时,fx2x-l, 求当1 xW3时，函数fx的解析式。 解题思路分析 利用化归思想解题 ,/ f x fx20 f x -f x2 /该式对一切xGR成立 以 x-2 代 x 得f x-2 -f ［ x-22］ -f x 当 1〈xW3 时，-l〈x-2Wl f x-22 x-2-l2x-5 f x -f x-2 -2x5 f x -2x5 l〈xW3 评注在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有 一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。 例3、已知gx-x2-3, fx是二次函数，当xe ［-1, 2］时，f x的最小值，且fxgx为奇函数, 求f x解析式。 分析 用待定系数法求fx解析式 设 f x ax2bxc aK 0 则 f x g x al x2bxc3 由已知fxgx为奇函数1 ［c - 3 0 ・ Ja l 〔c 3 f x x2bx3 下面通过确定f x在［-1, 2］上何时取最小值来确定b,分类讨论。 f x x 2 3 -夺，对称轴 x - 1 当一-2, bW-4时，fx在［-1, 2］上为减函数 2 ... fxminf2 2b 7 2b7l b3 舍 2 当-1, 2, -4b2 时 2 ■Ii 2 fXmin f_3 *. b 2-\/2 舍负 3 当--1, bN2时，仪在［-1, 2］上为增函数 2 fXminf 14-b ・・.4-bl b3 f x x2 -