《大榕树工作室》求递推数列的通项公式的九

大榕树工作室高三数学各类题型综合训练系列之 求递推数列的通项公式的九种方法 例1在数列｛。｝中，％ 3, ai -,求通项公式％. n17itin / . 1 \〃 n｛n 1 二、作商求和法 例2设数列｛。“｝是首项为1的正项数列，且n lanl2 nan2 an1an 0 nl, 2, 3，则它的通项公式是 an2000 年高考 15 题. 三、换元法 4131 例 3 已知数列｛an｝,其中 ％,。26，且当 nN3 时，an -an_｝ ｛an_x - an_2,求通项公式1986 年高考文科第八题改编. 例4己知数列｛an｝,其中ax \,a2 2,且当nN3时，an - 2tzn_1 an_2 1,求通项公式a“。 四、积差相消法 例5 1993年全国数学联赛题一试第五题设正数列％ , , an , an,满足 4an-\an-i an-\ 2 2且％。］1,求｛。“｝的通项公式. 五、取倒数法 例6已知数列｛｝中，其中41,,且当nN2时，an a,求通项公式％。 21 六、取对数法 （2002年上海高考题）. 例7若数列｛a｝中，43且。“1（n是正整数），则它的通项公式是 七、平方（开方）法 例8若数列｛a“｝中，42且a” 」3 a （n 2 ）,求它的通项公式是a,,. 八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如 下 1、ani Aan B （A、B为常数）型，可化为Li 立小（anA）的形式. S 例9若数列｛｝中，％1, S〃是数列｛｝的前〃项之和，且Sn1 （n 1）,求数列｛｝的通项公 3 4S” 2、anlAanBCn A, B, C为常数,下同型，可化为a,』 Aa„4 C”的形式. 例］0在数列｛｝中,ax -1, alll 2a n 4 3-1,求通项公式a“。 3、an2 A - an｝ B an 型，可化为 a” 为”］A 人0叶］为,,的形式。 例 11 在数列｛a｝中，％1,2，当ne N , an2 5ani -6an ①求通项公式 4、。“] Aa Bn C 型’可化为 7/11 4/ 人2 出0” 人1 〃 1 义]的形式。 3一 例12在数列0｝中，qa，求通项公式 九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是首先利用所给的递推式求出ai,a2,a3,，然后猜想出满足递推式的一个通项公式。“， 最后用数学归纳法证明猜想是正确的。 例13在各项均为正数的数列｛｝中，S“为数列｛｝的前n项和，SH -a„ ,求其通项公式。 2 a„ 求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如an2 panlqan（p,q是常数）的数列 形如ax-mx,a2-m2,an2 - panl qan（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其 特征方程为必px q① 若①有二异根a,/3,则可令ancxanc2/3\cvc2是待定常数） 若①有二重根a ”，则可令弓（q nc2）an（cvc2是待定常数） 再利用cix ,a-,明，可求得q,C2，进而求得弓. 例1.已知数列｛｝满足弓2,缶3,02 3alll-2an（ne N*）,求数列｛q｝的通项q . 例 2.已知数列｛”“｝满足％ 1,o2 2,4o/i2 4o/i1 -anne N*,求数列｛an｝的通项 ％ . 二、形如％户也旦的数列 CanD 对于数列％，, alm,neNt（A,B,C,D是常数且3CV0） Can D 其特征方程为X 坐也，变形为C2 （D - A）x - 3 0② Cx D 若②有二异根a,8,则可令圣二 （其中c是待定常数），代入知％的值可求得c值. a„xP anP一 这样数列［色二是首项为色二W，公比为C的等比数列，于是这样可求得为 . 若②有二重根a ,则可令二 -J c （其中c是待定常数），代入知％的值可求得c值. a„i -a a,〔a 这样数列［」一［是首项为一，公差为c的等差数列，于是这样可求得％. an a Jan a 此方法又称不动点法. 例3.已知数列｛｝满足 2,a 如 2 （〃22）,求数列｛q｝的通项弓. 2为_］1 例4.已知数列｛q｝满足 2,i （nw N*）,求数列｛”“｝的通项. 4an 6