26直线的方程提高学生版

直线的方程 【学习目标】 1. 掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式； 2. 掌握直线的一般式方程； 3. 能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处； 4. 能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。 【要点梳理】 要点一直线的点斜式方程 方程y-yQ kx- 0由直线上一定点及其斜率决定，我们把y-y0 kx-x0 做直线的点斜式 方程，简称点斜式. 要点诠释 1点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于 y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2. 当直线/的倾斜角为0时，直线方程为y M； 3. 当直线倾斜角为90时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为x x1. 4. k 表示直线去掉一个点P0x0,y0 ； y y0 - kx- x0表示一条直线. x- x0 要点二直线的斜截式方程 如果直线/的斜率为k,且与y轴的交点为0,力，根据直线的点斜式方程可得y-b k{x-G,即 y kxb.我们把直线/与y轴的交点0,。的纵坐标人叫做直线I在y轴上的截距，方程y kxb由 直线的斜率上与它在y轴上的截距人确定，所以方程y kxb叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 要点诠释 1. b为直线/在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零; 2. 斜截式方程可由过点0, b的点斜式方程得到； 3. 当kO时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4. 斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5. 斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y kxb中，k是直线的斜率，人是直线在y轴上的截距. 要点三直线的两点式方程 经过两点 P1xl,yl,P2x2,y2其中 x2,y{ y2 的直线方程为 ] * x,,y2,称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. y2 - Ji 石一邑 要点诠释 1. 这个方程由直线上两点确定； 2. 当直线没有斜率（石2）或斜率为0（刃为）时，不能用两点式求出它的方程. 3. 直线方程的的表示与4 （羽,北）,旦g,力）选择的顺序无关. 4. 在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式叫通过交叉相乘转 y2 一 M 冬一邑 化为整式形式（V 一叫）（花工1）（为）1）3 无），从而得到的方程中，包含了 X|X2或yiy2的情况，但 此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由由、次和y“ ％是否相等引起的讨论.要避免讨论, 可直接假设两点式的整式形式. 要点四直线的截距式方程 若直线/与x轴的交点为A（a, 0）,与y轴的交点为B（0, b）,其中aO,力。0,则过AB两点的直线 方程为三 1,这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的 a b 截距. 要点诠释 1. 截距式的条件是a / 0, A 0 ,即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直 线. 2. 求直线在坐标轴上的截距的方法令x0得直线在y轴上的截距；令y 0得直线在x轴上的截距. 3. 截距相等问题中，勿忽略ab0即直线过原点时的情况. 要点五直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为AxByC0,这个方程（其中A、B不全为零） 叫做直线方程的一般式. 要点诠释 1. A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. ar（C\A 当B乂。时，方程③可变形为）；--,它表示过点0,--,斜率为-一的直线. BBvB JB C 当B0, AU0时，方程③可变形为AxC0,即-一,它表示一条与x轴垂直的直线. A 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线. 2. 在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线 可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2,在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x- yl0,也可以是X 一） } 0,还可以是4x 2y20等.） 要点六中点坐标公式 若两点Pi（X1,处）、（初，y2）,且线段［R的中点坐标为（x, y）,则x35,则此公 22 式为线段旦的中点坐标公式. 要点七直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 yyikxxi （xi，yi）是直线上一定点，k是斜率 不垂直于X轴 斜截式 ykxb k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于X轴 两点式 了_乂二工_尤1 巧一叫易玉 （xi, yi）,（X2, y2）是直线上两定点 不垂直于X轴和y轴 截距式 31 a b a是直线在x轴上的非零截距，b是直 线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴， 且不过原点 一般式 AxByC0 A2B20 A、B、C为系数 任何位置的直线 要点诠释 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要 求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（XI尹X2, yiy2）,应用时若采用（y2-yi）（x- xi） （X2xi）（yyi）0的形式，即可消除局限性.截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断 是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上的所有直 线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不 同. 要点八直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立 变数.在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式.一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线， 通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的 截距；已知截距或两点选择截距式或两点式.从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周 长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏. 【典型例题】 类型一点斜式直线方程 例1.已知直线/过点（1, 0）,且与直线y c 1）的夹角为30 ,求直线/的方程。 【总结升华】（1）由于直线/过点（1, 0）,因此求直线/的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知, 何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（