q-Bernstein算子的性质研究【文献综述】

毕业论文文献综述 数学与应用数学 q-Bernstein算子的性质研究 、国内外现状 从本世纪50年代起，泛函分析方法在逼近理论的研究和应用中的影响日益增大，并形成逼近论的 一个重要分支一一算子逼近,其原因是算子理论将泛函分析中高度概括的思维方法和古典分析中的 精致技巧结合起来，从而使经典的逼近方法有了新的生长点，因此三十多年来算子逼近的研究得到迅 速发展，建立了系统的方法和理论并对其他数学分支产生广泛的影响. 算子逼近论主要是研究如下一些问题. 研究线性算子序列的收敛性质，这里主要讨论依范数收敛，点态收敛以及收敛速度的渐进分析，这 类问题统称为逼近定理.关于这方面的工作是1951年由P.P.Korovkin和H.Bohman分别对连续函数空 间建立的，随后由许多学者逐步推广到可测函数空间. 研究收敛速度的量化. 研究算子逼近中的饱和现象，这主要的工作是确定算子逼近的饱和阶和饱和类.人们统称为这类 结果为饱和定理，当然它们也是衡量逼近精度的一个重要事实. 1912年,Bernstein发表的论连续函数借助于具有固定次数的多项式的最佳逼近的论文，奠定 了函数构造论的基础.他引进了伯恩斯坦多项式、三角多项式导数的伯恩斯坦不等式等.开创了不少函 数构造的研究方向，如多项式逼近定理，确定单连通域多项式的逼近的准确近似度等，与其有关的研究 也一直来从未间断.其中的一个研究分支就是从各个方面对Bernstein算子进行了推广，如Stancu算子. 另一种较新形式的推广是1997年Phiilips首先引入的基于q 一整数的Bernstein算子.当ql时，这一 算子就是我们熟悉的Bernstein算子；而对qNl的情况，研究表明其有很多与经典Bernstein算子迥异 的性质. 由于伯恩斯坦多项式在逼近理论及其应用上扮演了一个重要角色,它们的各种变形一直被不断 地研究.由于q计算的深入发展,Bernstein多项式基于q计算的变形已经出现. 二 进展情况 在1912年,Bernstein提出了 Bernstein多项式用来逼近区间［0, 1］上的连续函数.Bernstein多 项式在逼近论中起着重要的作用，关于它的种种应用和各种的变形，人们已经做了大量的研究.特别 地，近些年来，随着q微积分的发展，出现了很多基于q整数的算子的各种推广.这个研究方向第一步 是由A. Lupas在1987年作出的.A. Lupas首先提出q-模拟Bernstein算子，并研究了该算子的收敛和 形状保持性质.但是,q 一模拟算子是有理函数而不是多项式.他考虑了 Bernstein算子基于q的变形 并研究了它的收敛性和保持形状的性质.然而,A. Lupas讨论的算子是用有理函数给出的，而不是多项 式。 在1997年，菲利普引入了 q-Bernstein多项式，在牛顿插值公式的帮助下第一次建立了 q-Bernstein多项式的基本框架.phillips提出了基于q整数的Bernstein多项式.当q二1 时,q-Bernstein多项式就是经典的Bernstein多项式；当q尹1时，我们得到具有许多不同性质的新 的多项式.q-Bernstein算子是对经典的Bernstein算子的推广.Bernstein多项式有许多杰出的性质，使它 成为了研究的热门领域.特别是近些年来，开拓了新领域,出现了一些新的应用和推广.这些结果主要在 于q-Bernstein算子的保单调性和保凸凹性，参数q不同取值时其不同寻常的收敛性质以及本身迭代与 Boolean和迭代的收敛性质等等. 近年来，众多学者对其进行了广泛的研究，得到了很多有意义的结果.其中,Phillips和 V. S. Videnskii都是利用连续模来研究q Bernstein算子对连续函数逼近度. 至今，中国首大的汪和平教授证明了能应用于q-Bernstein多项式序列的一般Korovkin型定理. 该定理不但揭示了极限q-Bernstein算子的存在，而且给出了一个收敛速度的估计，这一估计对 /eC2 ［0,1］是准确的. 他注意到极限q-Bernstein算子的形成就像T. Trif在［16］中考虑的q-Meyer-Konig和Zeller 算子的极限序列. 由于当q〉l时,q-Bernstein多项式不是正算子这个事实，这种情况很少被研究.然而，近几年也 出现了一些新结果.关于ql时,q-Bernstein算子的收敛性是由Ostrovska在［18］中给出的.出人意料地, 此时,该算子虽不再是正线性算子，但对某些函数却有着更好的逼近效果.另外Qstrovska还对极限算子 在复平面上的解析性进行了研究，并对q I 1时q-Bernstein算子的收敛速度进行了估计. 三 存在问题 人们利用概率论中的中心极限定理来研究线性算子对有界变差函数（有界函数）的逼近性质，利用 各种概率分布构造逼近算子和用概率方法研究算子逼近中的问题，是算子逼近论研究中一个热点.而 q-Bernstein算子作为一种新型算子和经典推广，对性质的研究不仅仅局限于一些基础问题，得到的知 识是这方面的特殊形式，因此还有待于大家作更大的努力，进一步地探讨和研究.当 时，q-Bernstein多项式的收敛性和古典Bernstein多项式的不同.对于0〈q〈l时,q-Bernstein多项 式的性质已有较多结果，而对q〉l时,q-Bernstein多项式不是正算子这个事实，这种情况很少被研 究。 有一些在运用的过程中具有很大的难度，并不能顺利地解决问题，因此需要对此改进，使得他们 在实际运用中能真正发挥作用。 参考文献 ［1］谢庭藩，周颂平.实函数逼近论［M］.杭州杭州大学出版社，1998 18. [2] 陈文忠.算子逼近论[M].厦门大学出版社.1991 13. [3] PHILLIPS G M. Bernstein polynomials based on the q-integers [J]. Ann Numer. Math, 1997, 4 511-518. [4] IL INSKII A, OSTROVSKA S. Convergence of generalized Bernstein polynomials [J]. J. Approx. Theory, 2002, 116 100-112. [5] WANG He-ping. Korovkin-type theorem and application [J]. J. Approx. Theory, 2005, 1322 258-264. [6] WANG He-ping. The rate of convergence of q- Bernstein polynomials for 0 q 1[J]. J. Approx. Theory, 2005, 136 151-158. [7] WANG He-ping. Voronovskaya-tpye ulas and saturation of convergence for q -Bernst