2022届高中数学新人教A版必修第一册231二次函数与一元二次方程不等式教案

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 【素养目标】 1. 理解一元二次方程与二次函数的关系.（数学抽象） 2. 掌握图象法解一元二次不等式.（直观想象） 3. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型（数学抽象） 4. 会解可化为一元二次不等式（组）的简单分式不等式.（数学运算） 5. 会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.（逻辑推理） 6. 会解一元二次不等式中的恒成立问题.（数学运算） 【学法解读】 在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函 数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式 的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归 纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序. 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 一、必备知识探新知 基础知识 知识点1 一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为. 一元二次不等式的一般形式是 或. 思考1 （1）不等式-r2|0是一元二次不等式吗 （2）一元二次不等式的一般形式中“a尹0”可以省略吗 提小（1）不是，一元二次不等式一定为整式不等式. （2）不可以，若。0,就不是二次不等式. 知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Abac J0 10 J0 y| W / y ax2 阮 \ / \ / \」g/ 一 c（a0）的图象 -1 洛 2 土 1 r C 有两个不相等的实 有两个相等的实 0a0的根 数根 X” X2X1X2 数根 X1 5 头叙恨 Ab24ac J0 J 0 J0 ax2 -\bx\- c070 的解集 {x\xx2 或 XX\} 如心-} R ax2forc070 的解集 0 0 思考2如何用图解法解一元二次不等式 提示图解法解一元二次不等式的一般步骤 ⑴将原不等式化为标准形式ax2bxc0或ax2 bxc0a0； ⑵求 A b2 4ac； 3 若根据二次函数的图象直接写出解集； 4 若A 20,求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集. 基础自测 1. 判断正误对的打“ 错的打“ X” lmx2 5x0是一元二次不等式. ⑵若方程ax2 bxc0a0没有实数根，则不等式ax2 bxc0的解集为R. 3设二次方程fx 0的两解为xl, x2,且xlx2,则一元二次不等式fx0的解集不可能为 {x|xlxx2. ⑷不等式ax2 bxcW0aN0或ax2 bxc0aN0的解集为空集，则方程ax2 bxc0 无实根. ［解析］ 1当m0时，是一元一次不等式；当m冬0时，它是一■元二次不等式. ⑵若方程ax2 bxc0a0没有实根.则不等式ax2 bxc0的解集为0. 3 当二次项系数小于0时，不等式fx0的解集为{x|xlxx2}. 4 当A 0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根. 2. 不等式2xWx2 l的解集为 A. 。B. R C. {x|x尹 1} D. {x|xl 或 x1} ［解析］将不等式2xWx2 1化为x2 2xlN0, .♦.x1200, ..解集为 R,故选 B. 3. 不等式2x-5x30的解集为. 2x 50f2x - 50 ［解析］将原不等式转化为或f /n ， \x 30 ［X 30 .L - 3xv|; 二、关键能力攻重难 题型探究 题型一解一元二次不等式 例题1解下列不等式. l2x2-3x-20； ⑵ x2-4x40； ⑶一x2 2x 30； ⑷一3x2 5x-20. ［分析］根据三个二次之间的关系求解即可. ［解析］1因为』0,方程2x7 ［解析］由于』0,方程6X2 x 2 0的两根为1云，x2 -j, 1 所以原不等式的解集为｛x|-亍 题型二三个“二次”的关系 例题2已知不等式ax2-bx20的解集为｛x|lx2｝,求a, b的值. ［分析］给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2-bx2 0的两根，由根 与系数的关系可求a, b的值. - 3x - 2 0的根是Xi - 2，x2 2, 所以不等式2x2 3x 20的解集为x|x -；或x2｝. 2 因为2 0,方程x2 - 4x 4 0的根是Xi 为2, 所以不等式x2-4x 40的解集为｛x|x 乂 2｝. 3 原不等式可化为/-230, 由于』v0,方程x2 - 2x 3 0无解， 所以不等式- x2 2x 30的解集为R. 4 原不等式可化为3子-5工 20, 2 由于J0,方程3x2 - 5x 2 0的两根为xi , X2l, 2 所以不等式-3疽 5x - 20的解集为｛xljxl. ［归纳提升］解一元二次不等式的步骤 1 对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0,另一端为0,即化为ax2bxc0a0 或 ax2bxc0a0的形式. 2 计算相应的判别式. ⑶当A河时，求出相应的一元二次方程的根. 4根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集. 【对点练习】❶不等式6x2x2W。的解集为. ［解析］方法一由题设条件知口0,且1,2是方程 京 2x 2 0 的两实根. 12，,fa 由根与系数的关系，知{； 解得\ 1X22,S3. a 方法二把x 1, x 2分别代入方程ax2 bx 2 Q中，得 ［归纳提升］给出了一元二次不等式的解集，则可知Q的符号和吹2 3x c 0的两实根，由根与系数的关系可知々，b, c之间的关系. 1如果不等式 or2 bx c0 的解集{x\dxe},则说明 dr0, x d, b c 。分别为方程态2 Bx c 0的两根，即de - de 若解集 {x\xd或xe},则说明70, Xi d,轮分别为方程吹之笊 c 0 bc 的两才艮，d e , de 一. aa 2如果不等式ax2 bx c0的解集为{y\dxe}