20212022学年北师大版必修5212余弦定理教案3

余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余 弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定 理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向 量作为数形结合的工具来解决问题； 情感目标面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之 间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生 成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的 精神。 二、教学重难点 重点探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余 弦定理进行应用。 难点利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学 生已经具备了勾股定理的知识，即当ZC90时，有c2a2b2o作为一般的 情况，当NC尹90时，三角形的三边满足什么关系呢学生一时很难找到思 路。用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将 向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点 拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索 余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解, 又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学 的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是北师大版普通高中课程标准实验教科书必修5第二章第一 节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定 理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它 将三角形的边和角有机的结合起来，实现了 “边”和“角”的互化，从而 使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了 理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要 的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了 “已知三角形的两边和夹角， 无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学 生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余 弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余 弦定理，最后通过1个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正 弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。 在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的 实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发 学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它 比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材， 并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究 等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。 在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困 难，教师可以适当的点拨。 四、教学过程 环节一【创设情境】 1、复习引入 让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。 2、情景引入 已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一边。这个问题是不能 使用正弦定理来求解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个问题。 环节二【导入新课】 问题在AABC中，当ZC90时，有c2a2b2.若a, b边的长短不变， 变换匕C的大小时，（与/甘有什么大小关系呢请同学们思考。 教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答， 借助于多媒体动画演示结果。 如图2,若ZC90时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变 短，即 c2a2b2. 图2图3 如图3,若490时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度 变长，即 c2a2b2. 经过议论学生已得到当ZC90时，cVa2b2o 环节三【新课探究】 探究1、在上一个问题中，我们已经知道，当ZC90时，c字那 么c与a2b2ilj底有什么等量关系呢请同学们继续探究。 提出问题 AABC中，ACb, BCa, AC和BC的夹角为匕C,求AB 教师引导学生分组合作学习，最后交流探索，展示成果。 如图4,当匕C为锐角时，作BDXAC于D, BD把AABC分成两个直角 三角形 在 RtAABD 中，AB2AD2BD2； 在 RtABDC 中，BDBC sinOasinC, DCBC cosCacosC. 所以，ABJADBD以化为 c2 bacosC2 asinC2, c2b22abcosCa2cos2Ca2sin2C, c2a2b22abcosC. 可以看出匕C为锐角时，ZABC的三边a, b, c具有c2a2b22abcosC 的关系。 如图5,当匕C为钝角时，作BDXAC,交AC的延长线于D。 图5 AACB是两个直角三角形之差。 在 RtAABD 中，AB2AD2BD2. 在 RtABC D 中，NBCDjiC.BDBC sin丸一C, CDBC ・ cos 丸 C . 所以ab2ad2bd2化为 c2 ACCD2BD2 [bacos C ]2[asin Ji C ]2b22abcos n C a2cos2丸C a2sin2 n C b22abcos 丸C a2. 因为 cos 丸C cosC,所以也可以得到 c2b2a22abcosC0 如图 6,在AABC 中，设AB c,CA b,BC BC AC-AB, 2 Z .BC \AC-AB A B .BC AC AB -2ABAC -2 AB ACcosA 即a2 b2 c2 -IbccosA 教师点拨学生的思路。 教师点评对于探究1,我们对于探究2,我们应用向量的数量积可以很 简单的证明余弦定理，这就可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问 题中的作用，在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。 教师点拨对于前边两种情况，分匕C是锐角和钝角的情况对余弦定理的 形式给出了证明，过程比较复杂； 对于第三种情况，应用向量的数量积可以很简单的证明余弦定理，这就可 以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习 中，我们应该加强对所学知识的应用。但不论用什么方法，我们都能得出 来c2-a2b2-2abcosC我们轮换匕A, ZB, NC的位置可以得到 a2b2c2 2bccosA. b2c2a2 2accosB. 同时验证直角三角形依然成立。 于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理（多媒体投影余弦定 理的内容） 余弦定理即c2a2b2-2abcosC a