2022届高中数学新人教A版必修第一册第3章34函数的应用一学案

3.4函数的应用（一） 学习任务 核心素养 1. 了解函数模型（如一次函数、二次函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数 模型）的广泛应用. 2. 能够利用给定的函数模型或建立确定的 函数模型解决实际问题.（重点、难点） 1. 通过建立函数模型解决实际问题，培养 数学建模素养. 2. 借助实际问题中的最值问题，提升数学 运算素养. ［合作探究释疑难］疑难问题解惑学科素养形成 类型1 一次函数模型的应用 【例1】 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城 镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后 第，（限定f50）年的城镇常住人口为犬0亿.写出的解析式，并由此估算出我国2022年的 城镇常住人口数. ［解］因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以只I）是一次函数，设Rt）ktb, 其中化力是常数. 注意到2013年是1978年后的第2013 1 978 35年，因此 『0） 1.7,疳1.7, 戚 35）7.3,［35kb1.3, 解得 Zr0.16, b1.7.因此 冷）0.16l1.7, /GN 且 K50. 又因为 2022年是 1978 年后的第 2 022 1 97844 年，而且444）0.16X441.7 8.74, 所以由此可估算出我国2022年的城镇常住人口为8.74亿. 厂 反思领悟 一次函数模型的特点和求解方法 （1）一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. （2）解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是设元、列式、求解. ［跟进训练］ 1. 如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费火元）与通话 时间f（分钟）之间的函数关系图象.根据图象填空 ① 通话2分钟，需要付电话费元； ② 通话5分钟，需要付电话费 元； ③ 如果 *,则电话费y元与通话时间K分钟之间的函数关系式为. ① 3.6 ②6 ③y1.2f泽3[①由图象可知，当时，电话费都是3.6元. ② 由图象可知，当t5时，y6,需付电话费6元. ③ 易知当E时，图象过点3,3.6, 5,6,待定系数求得y1.2ffN3.] 类型2二次函数模型的应用 【例2】 某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知 每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每 间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高 [解]设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元. 因为此时每间房单价为20020元，而客房出租数将减少10 x间，即为160-10间， 因此 720020 x160-10 20010.r16-x 200-x26.r160 200[-x-32169] 一20033233 800. 从而可知，当x3时，y的最大值为33 800. 因此每间房单价提到20020X3260元时，每天客房的租金总收入最高. 厂反思领悟 二次函数模型的解析式为gxor2况c0尹0.在函数建模中，它占有重要的地 位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性 等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值常常结合二次函 数的图象来解答. [跟进训练] 2. A, B两城相距100 km,在两地之间距A城xkm处。地建一核电站给A, B两城供 电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电 距离的平方和供电量之积成正比，比例系数20.25.若A城供电量为20亿度/月，3城为10 亿度/月. 1 把A, 3两城月供电总费用y万元表示成xkm的函数，并求定义域； 2 核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小. ［解］1由题意设A城的月供电费用为力，则14X20 x2. 设B城的月供电费用为％,则y22X10X100-x2, ..A、B两城月供电总费用y/lX20 x24X 10X100一对. 0.25, .I y5x2* 100-x写出只x的解析式； 假设居住在该市的张明一家某一年共用水260 nA则张明一家该年应缴纳水费多少 元 尝试与发现 由每一阶梯综合用水单价不同，思考用哪类函数刻画户年用水量X与应缴纳的水费犬X 的关系. ［解］⑴不难看出，/U是一个分段函数，而且 当 0 xW22。时，有Rx 3.45x; 当 220 xW300 时，有 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程S关于时间，变化的图象如图所示，那么图象所 10x90. 2由 y5x2100x2x2500 x25 000 _15, 100* 卜 50 000 则当*岑时， 最小. 故当核电站建在距A城岑 km时，才能使供电总费用最小. 类型3分段函数模型的应用 【例3】对接教材P93例题为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶 梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示. 分档 户年用水量/n 综合用水单价/元・nT3 第一阶梯 0220（含） 3.45 第二阶梯 220300（含） 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为xnP时应缴纳的水费为人x元. 220X3.45 .r-220X4.83 4.83x303.6; 当x300时，有 fix220X3.45 300- 220 X 4.83 a300X5.83 5.83x603.6. 3.45x, 0 xW220, 因此/x 4.83x303.6, 220 xW300, 、5.83x603.6, x300. 2因为 220260W300,所以 犬2604.83 X 260-303.6952.2, 因此张明一家该年应缴纳水费952.2元. 厂.反思领悟. 分段函数模型的应用 1 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分 段函数是刻画现实问题的重要模型. 2 分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题， 将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. ［跟进训练］ 3. 已知A、3两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地. 1 把汽车离开A地的距离x千米表示为时间1小时的函数； 2 求汽车行驶5小时与A地的距离. ［解］1汽车以6