20212022高中数学人教版必修5教案23等差数列的前n项和系列三

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 、知识与技能 1. 掌握等差数列前n项和公式； 2. 体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3. 会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1. 通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2. 通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学 习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归 纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒 体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务 本节课我们来学习等差数列的前n项和，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列 {an） ai, a2, a3,，an,我们称aia2a3■■an 数列{aj的前n项和,用Sn表示,记 snaia2a3---an, 如S,ai,S7aia2a3 a7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。 二、问题牵引，探究发现 问题1（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角 形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你 知道这个图案一共花了多少圆宝石吗 即Siool23100 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢请 同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 特点首项与末项的和1 100101,A 第2项与倒数第2项的和2 99 101,普藏 第3项与倒数第3项的和3 98 101,.蕊笛 第50项与倒数第50项的和50 51 101, 于是所求的和是101X50 5050。 123100101X50 5050 同学们讨论后总结发言等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢 探索与发现1假如让你计算从第一层到第21层的珠宝数，高斯的首密密密* 尾配对法行吗. 即计算S2il2321的值，在这个过程中让学生发宙螺眼眼镣 现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学 席盘盛葛螺密费 生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均 为21个，共21行。有什么启发 这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗 探索与发现2第5层到12层一共有多少颗圆宝石 学生探究的同时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行请同学们自主探究 一下老师演示动画帮助学生 8 x 5 12。 Ss56789101112 68 2 【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得 出倒序相加法适合任意项数的等差数列求和，最终确立倒序相加的思想和方法 好，这样我们就找到了一个好方法倒序相加法现在来试一试如何求下面这个等差 数列的前n项和 问题2等差数列1,2,3,顶,的前n项和怎么求呢 解根据前面的学习，请学生自主思考独立完成 / sn 1 2 3 H〃一 1 〃 〃 〃 一 1 〃 一 221 1 n 1 n ,,, n V n 〃 〃 1 【设计意图】强化倒序相加法的理解和运用，为更一般的等差数列求和打下基础。 至此同学们已经掌握了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前n项和公式了。 问题3对于一般的等差数列｛aj首项为ai,公差为d,如何推导它的前n项和sn公式呢 即求 aiaa3an S n 务 .，，1 S an an-\ Ta\ 2 Oj an a2 an_x a3 an_2 . ax ■■- 1 2可得2Sn nax an atr ■ ■ o ,, 2 公式变形将a,, 〃 ld代入可得Sn nax d 【设计意图】学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的 前n项和公式，从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，同时也 复习等差数列的通项公式和基本性质。 三、公式的认识与理解 1、根据前面的推导可知等差数列求和的两个公式为 S,, 〃（一 ；仁，）（公式一） „ n（a. an）n（n _ l）】,,危_、 S na｛ Hd （公式一） 22 探究1、（1）相同点 都需知道ai与n； （2）不同点第一个还需知道an ,第二个还需知道d； （3）明确若ai,d,n,an中已知三个量就可求Sno 2、两个公式共涉及a,,d,n,an, Sn五个量，“知三”可求二”。 2、探索与发现3等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系 用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对 应着等差数列n项和的两个公式.，请学生联想思考总结来有助于记忆。 Sn 2（林成平仃四边形）（分割成一个平行四边形及一个三角形） 【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆 四、公式应用、讲练结合 1、练一练 有了两个公式，请同学们来练一练，看谁做的快做的对 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a,,｝的 1 ai5, an95, n10 10 x 5 95 2 500 2ai100, d-2, n50 解550 50 x 100 50 x 50 - 1 x -2 2550 【设计意图】熟悉并强化公式的理解和应用，进一步巩固“知三求二”。 下面我们来看两个例题 2、例题1 2000年11月14日教育部下发了＜＜关于在中小学实施“校校通”工程