)竞赛试题(第47届)

国际数学奥林匹克IMO竞赛试题第47届 1. △ABC的内心为/,三角形内一点P满足 ZPBAZPCAZPBC ZPCB.求证，AP AI,而且等号当且仅当P/时成立. 证ZPBCZPCB | ZABCZACBZIBCZICB,故ZPBIZPCI,从而 P, B, C, I四点共圆.但由内外角平分线相垂直知B, C, I与BC边上的旁切圆心T 共圆，且是这个圆的直径，IT的中点0为圆心.由于A, I, T共线ZBAC的平分线， 且 P在圆周上，APPOAOAIIO , POIO,故AP2A/. 等号当且仅当P为线段A0与圆周的交点即P勻时成立. 2.正2006边形P的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P的边界分成的两部 分各含P的奇数条边.P的边也是好的. 设P被不在P的内部相交的2003条对角线剖分为三角形.试求这种剖分图中有两条 边为好的等腰三角形个数的最大值. 解对于剖分图中的任一三角形ABC, P的边界被A, B, C分为3段，A-B段所含P 的边数记作mAB.由于mABmBCmCA2006,故等腰三角形若有两条好边， 它们必是两腰.称这样的等腰三角形为好三角形. 考虑任一好三角形ABCABAC. A-B段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P的 边数为偶数.由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B段上P的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边a不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边B不属于更小的 腰段，令AABC对应于{a, B }.由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无 公共元，因此好三角形不多于却西1003个. 2 设 PA1A2-A20o6，用对角线 AiA2kilWkW1002及 A2k1A2k3lkl001M作的剖分 图恰有1003个好三角形.因此，好三角形个数的最大值是1003. 3.求最小实数M,使得对一切实数a, b, c都成立不等式 \aba2-b2 bcb2-c2 cac2-a2 IMa2 b2 c22 解aba2 -b2 bcb2 -c2 cac2 -a2 -a - bb 一 cc 一 qq 方 c・ 设一方兀，bc y c-a-z a b c s ,贝Oa2 Z2 c2 a2 2 z2 52. 原不等式成为 Mx2 y2 z2 522 2 91 xyzs 丨x y z 0. 兀，y z中两个同号而与另一个反号.不妨设兀，详0 贝II \ z\ xy,谨于 *兀歹2, xy24xy.于是由算术一几何平均不等式 / y2 g2 22 2 |Xy2S22 扣 川 扣 丁尸 X 川 于 2 x y6s2 2 4/2 y31 s I 1 旋 I xyzs I 即M 时原不等式成立. 32 等号在s 近,x y 1, z -2,即abc a/2 3a/2 V2-3时达到，故所求 的最小的M皿. 32 4.求所有的整数对x, y,使得1 2X 22xl y2. 解对于每组解x, y,显然x20,且, - y也是解.x 0时给出两组解0, 2. 设x, y0,原式化为2x2x1l y ly-l. y 1与y -1同为偶数且只有一个被4 整除.故x23,且可令y m 2x-ls,其中加为止的奇数， 1.代入化简得 若 1, 8 W 0 m 1.不满足上式. 故必 -1,此时1 〃 8 2 2”『8,解得W3.但1不符合，只 有加3 , x -4 , y 23 . 因此共有4组整数解0, 2,4 23. 5.设Px为次”1整系数多项式，k是一个正整数.考虑多项式 Qx PP---Px■■■,其中P出现k次.证明，最多存在n个整数使得 20 t 证若Q的每个整数不动点都是P的不动点，结论显然成立. 设有整数x0使得Qx0 x0, Px0MX。作递推数列乜i 0 0,12.它 以k为周期.差分数列A,. x;il,2, 的每一项整除后一项.由周期性及 △严0,所有1厶丨为同一个正整数.令 xm min{x1, x2 xk} u xm_x -xm xml -xm xml xm_Y . 数列的周期为2.即勺是P的2-周期点. 设a是P的另一个2-周期点，b Pa允许ba.则a-x0与b-兀互相整除， 故\ a-x0\\b-xr\,同理I b -.r \\a-x{\.展开绝对值号，若二者同取止号，推出 x0 无，矛盾. 故必有一个取负号而得到a b x0Xl. HxQXlC,我们得到Q的每个整数不 动点都是方程Px x C的根.由于P的次数大于1,这个方程为次.故得本 题结论. 6.对于凸多边形P的每一边4以b为一边在P内作一个面积最大的三角形证明, 所有这些三角形的面积之和不小于P的面积的两倍. 证过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积，将该直线与P的边界的另一交点也 看作P的顶点（允许若干个相继顶点共线）.每两条面积平分线都交于P内.P可 看成一个2“边形企企”一“2”，每条对角线44”是P的面积平分线（1，2,， “，42” 4）设44“与4人”1交于Q（Q”Q），由面积关系得到， 0 AQ A s（AdUJ s（ o,4”4”J，Q4 Q4严Q4” 0,4忒，故竽和廿亘 uiAiuiAii 中必有一个不小于1,于是以AA1为一边在P内作的面积最大的三角形的面积 S（ A,hiAAi）｝ 2S（ O；AAi）- 对于每条有向线段AAn , P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧.由于T在 AA,1和A血1 AA的相反侧，故必有i使得T在44”和a1A„1的相反侧, 2n 从而 t在△0,441 或△Q4”4”i 中.即二 p 于是 心1 2nIn 工s（44J 三老s（ 0,44J 2s（p） i\il p中同一边上的各个s（44”）之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积.