08级-研-矩阵论试题

-（15分）计算 （1）已知A可逆，求foeAtdt （用矩阵4或其逆矩阵表示）； （2）设a （al,a„a„aJT是给定的常向量，X （.r,）2x4是矩阵变量，求班九）丁 ； （A 丫 （3）设3阶方阵A的特征多项式为|2/-Ak22（2-6）,且A可对角化，求lim -（15分）设微分方程组 dx * Ax 508、 dt ,A 316 ，X0 1 -2 0 -3 .1 x0 x \7 \丿 （1）求A的最小多项式mAW； （3）求0‘；（3）求该方程组的解。 三（15分）对下面矛盾方程组Ax b X, 1 X] X2 *31 X] x2l （1）求A的满秩分解A FG； （2）由满秩分解计算4； （3）求该方程组的最小2范数最小二乘解-_s o 四（10分）设 A V2|1 求矩阵A的QR分解（要求R的对角元全为正数，方法不限）。 五（10 分）设 A a]3T（0a,]3eRn,n2） 1 证明4的最小多项式是mA 22-trA2 ； 2 求A的Jordan形需要讨论。 六10 分设 A e R；lxn, 1证明 rank/n - AA n-r ； 2 Ax 0的通解是x /„-AAy,Vye/n □ 七10分证明矩阵 1 2 4 3 承 2 -I 3 3 nnn 1m l2n 13 2n 丿 1能与对角矩阵相似；2特征值全为实数。 A 15分设A是可逆矩阵, z,||B-A|| /7 这里矩阵范数都是算子范数, 如果0a,证明 1 B是可逆矩阵；⑵||b-1||-； 3 |沪 0 QQ_0 参考答案 -15分计算 1 已知A可逆，求用矩阵4或其逆矩阵表示； 3 2 设＜z a1,a2,a3,a4r是给定的常向量，X x. 2x4是矩阵变量，求讯九丁 ； 设3阶方阵A的特征多项式为|27-A| 222-6,且A可对角化，求巴n 1 [eAtdt A-1 dtA\eA-I 2 由Xa 4A J1 4 k 1 丿 ‘Xa X] ia dXay dX 6Xaf 閔 8XaT 、SX21 dXaT 沁 axr 8x22 8XaT dxl3 dXaT 爼 QXa八 朗4 6XaT 九4丿 a2 a3 0 0 a4 a3 0 6 、 、 A c 0 c1 ,从而」 -c 0 c 1.故 0 0A 0 k c .\k 1 、 k 、 lim A Clim 0 C_1 c 0 Cl -A P00 SA丿 kX 0丿 0丿 6 A的特征根为人6,兄2 入0， 3 q4 6.由于A可对角化，即存在可逆矩阵C,使 -（15分）设微分方程组 dx A Ax dt 508、 1 ,A 316 X0 1 -2 0 -3 J x0 x \7 \ J （1）求A的最小多项式（3）求异‘；（3）求该方程组的解。 1 |2Z-A|-2-l\ 2 2 1尸； 2 /2 a2 b e‘/2 1 /, ‘1 4/ 0 、 如rA e‘ 3t 1 6t k 2t 0 1 4/丿 ‘1 12 八 3 xt eA,x0 e1 1 9/ [1 6/丿 三（15分）对下面矛盾方程组Ax b 兀3 1 v X] 勺 兀3 1 兀1 兀2 1 （1）求A的满秩分解A FG； （2）由满秩分解计算AS （3）求该方程组的最小2范数最小二乘解兀砧。 P 0 r p 1 1 i 0 o丿 1 （）丿 ‘0 0 1 A- 11 J 1 1 0 FG 0 1丿 （不唯一） -1 -1 4 2 -2丿 四（10分）设 A V2|1 11 求矩阵A的QR分解（要求R的对角元全为正数，方法不限） 解 五10 分设 A a/3Ta,/3eR,n2 1 证明4的最小多项式是m2 22-trA2 2 求A的Jordan形需要讨论。 证 1 易知rankA 1, trA /3Ta ,故 /nA A2-trAA 0 A 004 O 又对任意的一次多项式g2 2 c, gA A cI 0 o反证，如果A cl 0 当c 0n寸，A 0 ,矛盾。当cHOn寸，rankA rankc/ n2,矛盾。 2 由/n2 22-trA 0根知，4 的特征值只能是0或trA /3Ta 当trA /3Ta 0时，〃2无重根，4可对角化，再由rankA 1知 fO] A〜丿 0 当trA /3Ta 0时，4的特征值全是20 0,由 n - rank入Z - A zz -1 知Ao对应的特征向量只有“-I的线性无关的，从而 卩 ] A J 0 1 I 0丿 六10 分设 A e R；xn 1 证明 rank/n - AA n-r 2 Ax 0 的通解是 x In- AAy, \/y wR1 1In-AA In-V ;1 0、 UTU 0 0、 VTIn-V Ir 0、 0丿 0丿 9 0, VT \ 0 0、 V 1- vr v k yO。丿 丿 0 I VT 所以 rank/n -AA n-r o 2由 AZn - AA A- AAA A-A O,知