数值分析上机实验——解线性方程组

实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目名称 解线性方程组 实验类型 上机 实验学时 4 班级 学号 30 姓名 张振 指导教师 沈艳 实验室名称 理学楼407 实验时间 实验成绩 预习部分 实验过程 表现 实验报告 部分 总成绩 教师签字 日期 哈尔滨工程大学教务处 制 实验四 解线性方程组 一．解线性方程组的基本思想 1．直接三角分解法 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积 ，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为ALU，且分解唯一。其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。 2．平方根法 如果矩阵A为n阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得ALLT。当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为平方根法（Cholesky）分解。 3．追赶法 设系数矩阵为三对角矩阵 则方程组Axf称为三对角方程组。 设矩阵A非奇异，A有Crout分解ALU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记 可先依次求出L，U中的元素后，令Uxy，先求解下三角方程组Lyf得出y，再求解上三角方程组Uxy。 4．雅克比迭代法 首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即A LDU，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。 之后确定迭代格式，X BX f ，如图2所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。（k 0,1，......）再选取初始迭代向量X，开始逐次迭代。 5．超松弛迭代法（SOR） 它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。 选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵 M＝（D－）， 其中＞0 为可选择的松弛因子，一般当12时称为超松弛。 二.实验题目及实验目的 1．第五章习题8用直接三角分解（杜利特尔（Doolittle）分解）求线性方程组 9， 8， 8 的解。 2．第五章习题9用追赶法解三对角方程组Axb，其中 A，b. 3．（第五章习题10）用改进的平方根法解线性方程组 4．（第六章习题7）用SOR方法解线性方程组（分别取松弛因子ω，ω1，ω） 4 - 1， - 4- 4， - 4 -3. 精确解x（，1，-）.要求当510时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数. 5.（第六章习题8）用SOR方法解线性方程组（取ω） 5 -2 -12， - 4- 2 20， 2 -310 3. 要求当10时迭代终止. 6．（第六章习题9）设有线性方程组Axb，其中A为对称正定阵，迭代公式 ωb- A，k0，1，2， 试证明当0ω时上述迭代法收敛（其中0A）. 7．（第六章计算实习题1）给出线性方程组Hxb，其中系数矩阵H为希尔伯特矩阵 HxhR, h，i，j1，2，，n. 假设x（1，1，，1）R，b Hx.若取n6，8，10，分别雅克比迭代法及SOR迭代（ω1，，）求解.比较计算结果. 三．实验手段 指操作环境和平台win7系统下MATLAB R2009a 程序语言一种类似C语言的程序语言，但比C语言要宽松得多，非常方便。 四.程序 1. ①直接三角分解（文件） function xZJsanjiaoA,b [m,n]sizeA; [l u]luA; sinvl*[A,b]; xonesm,1; for im-11 hsi,m1; for jm-11; if ji hh-xj*si,j; end end xih/si,i; end ②控制台输入代码 A[1/4,1/5,1/6;1/3,1/4,1/5;1/2,1,2]; b[9;8;8]; xZJsanjiaoA,b 2. ①追赶法（文件） function xZG_SDJa,b,c,f a ba ca fb Nlengtha; b[b,0]; c[0,c]; a1zerosN,1; b1zerosN,1; yzerosN,1; xzerosN,1; a11a1; b11b1/a11; y1f1/a11; for j12N a1j1aj1-cj1*b1j1-1; b1j1bj1/a1j1; temp1fj1-cj1*yj1-1; yj1temp1/a1j1; end j1N; xj1yj1; for j1N-1-11 xj1yj1-b1j1*xj11; end ②控制台输入代码 a[2 2 2 2 2]; b[-1 -1 -1 -1]; c[-1 -1 -1 -1]; f[1;0;0;0;0]; xZG_SDJa,b,c,f 3. ①改进的平方根法（文件） function GJPFGA,b nlengthb; n LDL d1A1,1; for i2n for j1i-1 sum10; for k1j-1 sum1sum1ti,k*lj,k; end ti,jAi,j-sum1; li,jti,j/dj; end sum20; for k1i-1 sum2sum2ti,k*li,k; end diAi,i-sum2; end for i1n li,i1; end dispL; L l dispD; D