圆与二次函数综合题复习(教师版)

教学课题 圆与二次函数综合题复习 教学目标 1.通过圆与二次函数的综合题练习，驾驭二者的亲密联系； 2.通过对动点问题等的练习，学会解决问题的一般方法。 教学重难点 重点圆与二次函数的综合； 难点动点问题； 圆与二次函数综合题复习 例1抛物线交轴于、两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，，。 （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径。 （1）将代入，得 ．将，代入，得 ．∵是对称轴，∴．将（2）代入（1）得， ．二次函数得解析式是． （2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴ 直线的解析式是，又对称轴为，∴ 点的坐标． （3）设、，所求圆的半径为r，则 ，.1 ∵ 对称轴为，∴ ． .2由（1）、（2）得．.3 将代入解析式，得 ，.4整理得 ．由于 ry，当时，，解得， ， （舍去），当时，，解得， ， （舍去）．所以圆的半径是或． 例2如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。 （1）求圆心的坐标； （2）抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数的图象上，求抛物线的解析式； （3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试推断D、E两点是否在（2）中的抛物线上； （4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满意∠APB为钝角，求x0的取值范围。 解（1）∵⊙C经过原点O， ∴AB为⊙C的直径。 ∴C为AB的中点。 A B C D E F O H x y 过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。∴圆心C的坐标为（1，）。 （2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。∵抛物线的顶点在直线y＝－x上， ∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得 解得∴抛物线的解析式为。 （3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满意∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。 例3如图，已知抛物线的顶点坐标为M1，4，且经过点N2，3，与x轴交于A、B两点点A在点B左侧，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； （2）若直线ykxt经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在抛物线的对称轴x1上运动，请探究在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为 又抛物线经过点N（2，3），所以 解得a＝－1 所以所求抛物线的解析式为y＝令y＝0，得解得得A（－1，0） B（3，0） ；令x＝0，得y＝3，所以 C（0，3）. （2）直线ykxt经过C、M两点，所以即k＝1，t＝3 直线解析式为y＝x＋3. 令y＝0，得x＝－3，故D（－3，0） CD＝ 连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F. 设过A、N两点的直线的解析式为y＝mx＋n， 则解得m＝1，n＝1 所以过A、N两点的直线的解析式为y＝x＋1 所以DC∥AN. 在Rt△ANF中，AF＝3，NF＝3，所以AN＝ 所以DC＝AN。 因此四边形CDAN是平行四边形. （3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u） 其中u＞0，则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第（2）小题易得△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形， 由P（1，u）得PE＝u， PM＝|4-u|， PQ＝由得方程，解得，舍去负值u＝ ，符合题意的u＝，所以，满意题意的点P存在，其坐标为（1，） 例4已知如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）。 （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）求的面积； （3）连交于点，延长至，使，摸索究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由． （1）抛物线 的坐标为 （说明用公式求点的坐标亦可）． （2）连；过 为的直径． 而 （3）当点运动到的中点时，直线与相切 理由在中， ． 点是的中点 ， 在中， 为等边三角形 又为直径，当为的中点时，为的切线 例5在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点。 （1）求此抛物线的解析式； （2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（留意本题中的结果可保留根号） 解（1）解析式为 （2）存在 l′ 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图）， 设满意条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D ∵ MC OM 2, ∠CBM 30, CM⊥BC ∴∠BCM 90 ，∠BMC 60 ，BM 2CM 4 , ∴B -2, 0 在Rt△CDM中，∠DCM ∠CDM - ∠ 30 ∴DM 1, CD ∴ C 1, 设切线 l 的解析式为，点B、C在 l 上，可得 解得 ∴切线BC的解析式为 ∵点P为抛物线与切线的交点 由 解得 ∴点P的坐标为， 8分 ∵ 抛物线的对称轴是直线 此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′如图 得到B、C关于直线的对称点B1、C1 l′满意题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点 ，即为所求的点. ∴这样的点P共有4个，，， 12分 例6已知二次函数的图象如图。 （1）求它的对称轴与轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移