完美版圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。 椭圆的标准方程为（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。 注①以上方程中的大小，其中； ②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里； ②对称性在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即； ④离心率椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。 注意①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。 （2）双曲线的性质 ①范围从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。 ②对称性双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。 令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 ⑤等轴双曲线 1）定义实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式； 2）等轴双曲线的性质（1）渐近线方程为 ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为 ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。 ⑥注意与的区别三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。 3．抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F不在定直线l上。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 方程叫做抛物线的标准方程。 注意它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ； （2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 说明（1）通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义是焦点到准线的距离。 4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、 方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y0的实数解建立了如下的关系1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系若曲线C的方程是fx,y0，则点P0x0,y0在曲线C上fx0,y 00；点P0x0,y0不在曲线C上fx0,y0≠0。 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1x,y0,f2x,y0,则点P0x0,y0是C1，C2的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆 1、定义点集｛M｜｜OM｜r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 2、方程1标准方程圆心在ca,b，半径为r的圆方程是x-a2y-b2r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2y2r2 2一般方程①当D2E2-4F＞0时，一元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x2y2DxEyF0化为x2y2 ②当D2E2-4F0时，方程表示一个点-,-; ③当D2E2-4F＜0时，方程不表示任何图形. （3） 点与圆的位置关系 已知圆心Ca,b,半径为r,点M的坐标为x0,y0，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜。 （4） 直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。 ②直线和圆的位置关系的判定i判别式法；ii利用圆心Ca,b到直线AxByC0的距离与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义 平面内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数ee＞0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点Fc,0称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为