一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结 知识结构梳理 （1）含有 个未知数。 （2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为 的一元二次方程 一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab0的形式， 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 根的判别式 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 知识点归类 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意1、一元二次方程必须同时满足以下三点①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是 2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程 ⑴；⑵；（3）；（4）；（5） 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。 例1 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 建立一元二次方程模型 建立一元二次方程模型的步骤是审题、设未知数、列方程。 注意（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ， 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少 鸡场 因式分解法、直接开平方法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq0时，则p0或q0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为0； （2） 将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 （3） 令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程 （1）； （2）； （3）。 知识点二 直接开平方法解一元二次方程 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。 例 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）（因式分解） 知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程 形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）； （2） 知识点四 用提公因式法解一元二次方程 把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq0时，则p0或q0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如，将原方程变形为，由此可得出 注意在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。 知识点五 形如“”的方程的解法。 对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。 注意应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。 例 解下列方程（1）； （2） 配方法 知识点一 配方法 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 注意用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 例 用配方法解下列方程 （1）； （2） 知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤 （1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2） 把原方程变为的形式。 （3） 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。 例 解下列方程 知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤（1）先把二次项的系数化为1方程的左、右两边同时除以二项的系数； 2 移项在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式； （3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例 用配方法解下列方程 （1）； （2） 公式法 知识点一 一元二次方程的求根公式