函数、导数“任意、存在”型问题归纳

v1.0 可编辑可修改 函数导数任意性和存在性问题探究 导学语 函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下 题型分类解析 一．单一函数单一“任意”型 战略思想一“，恒成立”等价于“当时，”； “，恒成立”等价于“当时，”. 例1 已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围. 解，∴；即； 当时，不等式显然成立，∴a∈R. 当时，由得， 而，∴. 又∵，∴， 综上得a的范围是. 二．单一函数单一“存在”型 战略思想二“，使得成立”等价于“当时，”； “，使得成立”等价于“当时，”. 例2. 已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 解析. ∵，∴且等号不能同时取，所以，即， 因而， ， 令，又， 当时，，， 从而（仅当x1时取等号），所以在上为增函数， 故的最小值为，所以a的取值范围是． 三．单一函数双“任意”型 战略思想三，都有分别是 的最小值和最大值，min是同时出现最大值和最小值的最短区间. 例3. 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____. 解 ∵对任意x∈R，不等式恒成立， ∴分别是的最小值和最大值. 对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期. 又函数的周期为4，∴的最小值为2. 战略思想四 成立 在A上是上凸函数 例4. 在这四个函数中，当时，使 恒成立的函数的个数是 解本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意； 战略思想五 成立在A上是增函数 例5 已知函数定义域为，，若，时，都有 ，若对所有，恒成立，求实数取值范围. 解任取，则， 由已知，又，∴， 即在上为增函数. ∵，∴，恒有； ∴要使对所有，恒成立， 即要恒成立，故恒成立， 令，只须且， 解得或或. 战略思想六 （为常数）成立t 例6. 已知函数，则对任意（）都有 恒成立，当且仅当____，____时取等号. 解因为恒成立， 由， 易求得，， ∴. 战略思想七 例7. 已知函数满足1定义域为；2方程至少有两个实根和； 3过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1. 1证明； 2证明对任意，都有. 证明 1略； 2由条件2知， 不妨设，由3知， 又∵ ；∴ 例8. 已知函数，对于时总有成立，求实数的范围. 解 由，得， 当时，，∵， ∴， ∴ 评注 由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率如果有的话的范围，利用这个结论，可以解决形如|或m＞0型的不等式恒成立问题. 四．双函数“任意”“存在”型 战略思想八，使得成立； ，使得成立. 例9．已知函数，，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围. 解析题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值. ，由得，或， 当时， ，当时， 所以在（0，1）上，. 又在上的最大值为，所以有， 所以实数的取值范围是. 战略思想九“，，使得成立” “的值域包含于的值域”. 例10．设函数． （1）求的单调区间． （2）设，函数．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 解析（1） ，令，即，解得， 的单增区间为；单调减区间为和. （2）由（1）可知当时，单调递增，当时，， 即； 又，且，当时，，单调递减， 当时，，即， 又对于任意，总存在， 使得成立， 即，解得 例11．已知函数; 1 当时，讨论的单调性； （2）设，当时，若对，,使，求实数的取值范围； 解（1）（解答过程略去，只给出结论） 当a≤0时，函数fx在（0,1）上单调递减，在（1，∞）上单调递增； 当a时，函数fx在（0，∞）上单调递减； 当0a时，函数在（0,1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； （2）函数的定义域为（0，∞）， （x）－a－，a时，由（x）0可得x11,x23. 因为a∈（0,），x23（0,2）,结合（1）可知 函数fx在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增， 所以fx 在（0,2）上的最小值为f1 －. 由于“对x1∈（0,2），x2∈[1,2],使fx1 ≥gx2”等价于 “gx在[1,2]上的最小值不大于fx 在（0,2）上的最小值f1 －”. （※） 又gxx－b24－b2, x∈[1,2],所以 ① 当b1时，因为[gx]ming15－2b0,此时与（※）矛盾； ② 当b∈[1,2]时, 因为[gx]min4－b2≥0，同样与（※）矛盾； ③ 当b∈（2，∞）时，因为[gx]ming28－4b. 解不等式8－4b≤－，可得b≥. 综上，b的取值范围是[,∞. 五．双函数“任意”“任意”型 战略思想十，使得成立 例12.已知函数，若对任意，都有，求的范围. 解因为对任意的，都有成立， ∴，∵， 令得x＞3或x＜-1；得； ∴在为增函数，在为减函数. ∵，∴.∴，∴. 例13．已知两个函数; 1 若对,都有成立，求实数的取值范围； 2 若,使得成立，求实数的取值范围； 3 若对,都有成立，求实数的取值范围； 解（1）设,（1）中的问题可转化为 时，恒成立，即. ； 当变化时，的变化情况列表如下 -3 -3,-1 -1 -1,2 2 2,3 3 x 0 － 0 hx k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9 因为,所以，由上表可知， 故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,∞. 小结①对于闭区间I，不等式fxk对x∈I时恒成立[fx]maxk, x∈I;不等式fxk对x∈I时恒成立[fx]mink, x∈I. ②此题常见的错误解法由[fx]max≤[gx]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[fx]max≤[gx]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （2）根据题意可知，（2）中的问题等价于hx gx－fx ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[hx]max≥0. 由（1）可知[hx]max k7