固体物理课后答案

固体物理课后答案 1.1 假如将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构 x简洁立方 π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 3π /16 ≈ 0.34 解设钢球半径为r ，依据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为简洁立方a 2r 金刚石依据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 依据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π / a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子的确是面心立方。留意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。依据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4π a的体心立方晶格的基矢。 证明依据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 依据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简洁立方晶格，证明密勒指数为h, k,l的晶面系，面间距d 满意 其中 a 为立方边长。 解依据倒格子的特点，倒格子 与晶面族h, k,l的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢相互正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。 2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α 2ln 2 证明设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有 依据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。 因子 2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。 则马德隆常数为 当x 1时，有 所以α 2ln 2 依据平衡条件，即稳定结合时 求得 则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为 计算中没有考虑零点能的量子修正，这是造成理论和试验值之间巨大差别的缘由。 是1.5的图 是3.2的图 是3.3的图 3.2 探讨N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N 个格波解，当M m时与一维单原子链的结果一一对应。 解如图所示，质量为M 的原子位于2n −1, 2n 1, 2n 3􀀢􀀢 质量为m 的原子位于2n, 2n 2,2n . 牛顿运动方程为 每个原胞有两个，共有2N 个形式相同的独立方程。形式解为 代回运动方程有 这是一个以 A 、B 为未知量的齐次线性方程组，有解的条件是系数行列式为零 有两组不同的解 q 的取值范围是对应于每个 q 值，有两个格波，共计2N 个格波。 当M m时，两组解变为初看好像仍为双值函数，但是由于原来取布里渊区为为实际区域大小的一半，所以当我们把布里渊区扩展为时，就不必用双值表示了，变为 这时当然就没有光学波了 3.3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c 和10c 。令两种原子质量相同，且最近邻间距为a / 2。求在k 0和k π / a处的ωk。大略地画精彩散关系。此问题模拟如2 H 这样的双原子分子晶体。 解可以这样考虑这个问题， H2分子组成一维晶体，分子内部的相互作用较强，力常数为 10c ，相邻的原子间作用较弱，力常数为c ，第s 个分子中的两个原子的位移分别用表示 将摸索解 代入上式 有 是u ，ν 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为 当k 0时， 当k π / a 时 ω2与k 的关系如下图所示，这是一个双原子例如2 H 晶体。令 3.6 求出一维单原子链的频率分布函数。 解设单原子链长度 L Na 频率分布函数 3.7 设三维晶格的光学振动在q 0旁边的长波极限有 求证 解 依据现在 带入上边结果有 3.8 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T 2。 解在德拜近似下 式中出现 2N ，是由于二维晶格中每个原子的自由度为2，总自由度为2N 。则 则 3.11 一维复式格子 中 求 解（1） （2） 23 / 23