六年级奥数专题十九：近似值与估算

v1.0 可编辑可修改 六年级奥数专题十九近似值与估算 关键词近似 四舍 近似值 千分 四舍五入法 四舍五入 尾数 奥数 舍去 截取 在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。 用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有 （1）四舍五入法。四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如，截取到千分位的近似值是，截取到百分位的近似值是。 （2）去尾法。把尾数全部舍去。例如，截取到千分位的近似值是，截取到百分位的近似值是。 （3）收尾法（进一法）。把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例如，截取到千分位的近似值是，截取到百分位的近似值是。 表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。 在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。 例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是。那么，精确到小数点后两位数是多少 分析与解13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，≤平均值＜，所以13个数之和必然不小于的13倍，而小于的13倍。 13＝， 13＝。 因为在与之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。 35013＝ 当精确到小数点后两位数时，是。 例1中所用的方法可称为“放缩法 ”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。 分析与解真正计算出这个算式，再取近似值，几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。 若分子缩小、分母扩大，则分数变小；若分子扩大、分母缩小，则分数变大。利用这一点，使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数，有 由 ＜原式＜，无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大，应使范围缩小些。 分子、分母各取三位小数，有 仍然无法确定，还应使范围缩小。 分子、分母各取四位小数，有 由 ＜原式＜知，原式小数点后三位肯定是“239”，第四位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后三位数的近似值是。 由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了，范围太大，无法确定；取的位数多了，例如取十位小数，计算量太大，繁琐且没有必要。 例3 求下式的整数部分 分析与解对分母使用放缩法，有 所以＜原式＜200，原式整数部分是199。 例4 求下式的整数部分 。 分析与解在， 与中，各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到 ＜＜。 因为＞8，所以 原式＞83； 因为 ＜8，所以 原式＜8330。 由＜原式＜30知，原式的整数部分是29。 前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。 例5某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问导火线的长度至少多长才能确保安全（精确到0.1米） 解（705） ＝10 ＝≈（米） 答导火线至少长1.2米。 此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。 例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。问该飞机最远飞出多少千米就应返回（精确到1千米） 解设该飞机最远能飞出x千米，依题意有 答飞机最远飞出1748千米就应返回。 此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。 练习19 1.有17个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是，那么精确到小数点后三位数是多少 2.老师在黑板上写了14个自然数，让小明计算平均数（保留三位小数），小明计算出的答案是。老师说小数点后第二位错了，其它的数字都对。正确答案应该是多少 3.计算下式的精确到小数点后三位数的近似值 6831。 4.求下式的整数部分 1122＋1233＋1344＋＋1788。 5.求下式的整数部分 2. 45＋＋＋ 2. 48＋。 6.为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料，以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车 7.一条单线铁路全长 240千米，每隔20千米有一个会车站（当两车相遇时，一车停在会车站内，另一车可通过）。甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行75千米，乙车每小时行45千米。为保证快车正点运行，慢车应给快车让路。为使等候时间尽量短，乙车应在出发后的第几个会车站等候甲车通过 6