数学思想方法一整体思想

数学思想方法一 整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 例1.已知，则的值等于 （ ） A. B. C. D. 分析根据条件显然无法计算出，的值，只能考虑在所求代数式中构造出的形式，再整体代入求解． 解 说明本题也可以将条件变形为，即，再整体代入求解． 例2．已知代数式，当时，值为，则当时，代数式的值为 解因为当时，值为，所以，即，从而，当时，原式 例3．已知，，，求多项式的值． 分析要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到，只要求得，，这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了． 解由已知得，，，所以， 原式 说明在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程组与不等式（组）中的整体思想 例4．已知，且，则的取值范围是 分析本题如果直接解方程求出，再代入肯定比较麻烦，注意到条件中是一个整体，因而我们只需求得，通过整体的加减即可达到目的． 解将方程组的两式相加，得，所以，从而，解得 例5． 已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为为 分析如果把代入，解出，的值，再代入进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组中令，则此方程组变形为，对照第一个方程组即知，从而，容易得到第二个方程组的解为，这样就避免了求，的值，又简化了方程组，简便易操作． 解 说明通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便． 例6．解方程 分析本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解． 解设，则原方程变形为，即，解得，，所以或，从而解得，，，，经检验，，，都是原方程的解． 说明（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设，将方程变形为来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如这样的方程，只要设，从而将方程变形为，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件，共需元；若购甲件，乙件，丙件，共需元．现在计划购甲、乙、丙各件，共需多少元 分析要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各件的钱数看成一个整体，问题就可能解决． 解设购甲、乙、丙各件分别需元、元、元． 依题意，得，即 解关于，的二元一次方程组，可得（元） 答购甲、乙、丙各件共需元． 说明由于我们所感兴趣的不是、、的值，而是这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想 例8．已知和成正比例（其中、是常数） （1）求证是的一次函数； （2）如果时，；时，，求这个函数的解析式. 解（1）因与成正比例，故可设 整理可得 因，、为常数，所以是的一次函数. （2）由题意可得方程组 解得，. 故所求的函数解析式为． 说明在解方程组时，单独解出、、是不可能的，也是不必要的．故将看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法． 例9． 若关于的一元二次方程有一根大于，一根小于，求的取值范围． 分析此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程与二次函数联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易． 解由题意可知，抛物线与轴的交点坐标，一个交点在点的右边，另一个交点在点的左边，抛物线图象开口向上，则可得当时,，当时，，即，∴． 说明（1）由于当,时，， 所以解答过程中不必再考虑了． （2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想 例10．如图， 分析由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将视为一个整体，那么应与△中的外角相等，同理，分别与，的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了． 解因为，，,根据三 角形外角定理，得， 所以． 说明整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形的对角线长分别为和， 是对角线上任一点（点不与，重合），且∥交于， ∥交于，则图中阴影部分的面积为 ． 解不难看出，四边形为平行四边形， 从而△的面积等于△的面积， 故图中阴影部分的面积等于△的面积， 又因为，所以图中阴影部分的面积为. 说明本题中，△与△虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜． 例12．如图，在正方形中，为边的中点，平分，试判断与的大小关系，并说明理由． 解与的大小关系为． 分别延长，交于点，因为为边的中点，因而易证△≌△，所以，并且，，从而．由于平分，所以，故，即△为等腰三角形，即，所以，． 说明证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将转化为这一整体，从而达到了解决问题的目的． 用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功． 练习 一、选择题 1. （2011盐城，4，3分）已知a﹣b1，则代数式2a﹣2b﹣3的值是（ ） A.﹣1