四边形(竞赛题)[1]

第一节 四边形的分类与判定 【学问点拨】 1、四边形的性质四边形的内角和等于360。 2、四边形的的分类（1）对边平行；（2）对边不平行。 本节探讨是对边不平行的四边形，常用方法是转化为三角形进行探讨。 【赛题精选】 【例1】如图，四边形ABCD有4个直角三角形拼凑而成，它们的公共顶点为O，已知△AOB、△BOC、△COD的面积分别为20、10、16，求△AOD的面积。（1992年北京市“迎春杯”竞赛题） 【注释】求三角形的面积，通常须要求出底和高，当这两个值不易求出时，常把它们的积作为一个整体，设法求出它们的积。 【例2】如图，求∠A∠B∠C∠D∠E∠F∠G的度数。（1999年重庆市竞赛题） 【注释】求凹多边形的内角和，常利用四边形和三角形的内角和进行计算，有事须要添加协助线，将其转化为求一个凸多边形的和或一个凸多边形和一个三角形的内角和，如本题连接BF、CE，则所求的值等于四边形ABFG的内角和加上△DCE的内角和。 【例3】如图，在四边形ABCD中，∠B∠D90，∠A60，AB4，AD5，求的值。（1993年“祖冲之杯”邀请赛试题） 【注释】有些几何题，按原有的图形很难求解，可依据图形的特点，将原图形补成特别图形，利用特别图形的性质进行求解。 【例4】（1）是否存在这样的四边形，它的4条边依次是1、2、4、7 （2）是否存在这样的四边形，它的一组对角是直角，其中一个直角的两条边分别为3、4，另一个直角的边为6 【注释】探究存在型问题是指在肯定条件下，推断是否存在某个结论。解答这类问题，先假设结论存在，从假设动身，依据题设条件及有关性质进行推理论证，若推出冲突，则不定假设，若推出合理的结果，则说明假设正确。这种方法叫“假设法”。 【例5】如图，在四边形ABCD中，ABAD8，∠A60，∠D150，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长。 【注释】对于四边形，作对角线是常用的协助线。 【例6】如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，△DOC的面积S14，△AOB的面积S264，求四边形ABCD的面积的最小值。（第十一届“希望杯”邀请赛培训题） 【注释】本题求最值的方法称为配方法，即欲求一个量的最大值或最小值，可先用一个量或两个量表示这个量，然后对列出的代数式进行配方，从而确定最大值或最小值。 【针对训练】 【1】如图，A、B、C在一条直线上，FA⊥AC，FG⊥BE，DE⊥BE，DC⊥BC，且∠F60，求∠EBC与∠D的度数。 【2】如图，求∠A∠B∠C∠D∠E∠F∠G的度数。（1994年“祖冲之杯”邀请赛试题） 【3】是否存在这样的四边形，它的一组对角分别为60、120，且60角的两边均为5，120角的一边为6 【4】如图，在四边形ABCD中，ADDC，∠ADC∠ABC90，DE⊥AB于E。若四边形ABCD的面积为8，求DE的长。（1996年四川省竞赛题） 【5】在四边形ABCD中，AB2，BC4，CD7，求AD的取值范围。 【6】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC135，AE（ADAB），BC2。求BE的长。 其次节 平行四边形的问题 【学问点拨】 1、平行四边形性质对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线相互平分。 2、矩形性质矩形除具有平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角是直角。 3、菱形性质除具有平行四边形的性质外，还有四条边相等、对角线相互垂直、且每一条对角线平分一组对角。 4、平行四边形问题的处理方法 （1）转化为三角形问题来处理； （2）常用平行四边形的性质来处理。 【赛题精选】 【例1】已知四边形ABCD，从（1）AB∥DC；（2）ABDC；（3）AD∥BC；（4）ADBC；（5）∠A∠C；（6）∠B∠D中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形请详细写出这些组合。（1998年江苏省竞赛题） 【注释】解四边形问题，常须要判定其形态，要熟记判定定理；由于判定定理比较多，易混易忘，可从边、角、对角线3个方面加以记忆。 【例2】凸四边形ABCD中，AB∥CD，且ABBCCDAD。求证ABCD是平行四边形。（1990年芜湖市竞赛题） 【例3】平面上有三个正△ABD、△ACE、△BCF，两两共有一个顶点。求证CD与EF相互平分。（1990年芜湖市竞赛题） 【例4】在Rt△ABC中，∠ACB90，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BFCE。求证FK∥AB。（大连市第八届“育英杯”竞赛题） 【注释】对于求证线段相等，角相等，线段相互平行，两线平行，两线垂直等问题，常先判定出某个四边形是平行四边形或特别的平行四边形，再依据其性质进行证明。这种证明方法往往优于用三角形的性质证明的方法。 【例5】如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB60，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满意AECFa。证明不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。（1990年合肥市竞赛题） 【注释】对于平行四边形问题，常将其转化为三角形问题解决。解题时要留意利用平行四边形的性质，这些性质往往为解题供应必要的条件。 【例6】矩形ABCD中，AB20cm，BC10cm。若在AC、AB上各取一点M、N，使BMMN的值最小，求这个最小值。（1998年北京市竞赛题） 【例7】设P为直角等腰三角形ABC斜边AB上随意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PDPC。求证BC⊥BD且BCBD。 【例8】如图，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3。已知A2C3C2B3B2C3，且C2C32B2B32A2A32。请证明A1B1⊥C1A1。（2002年北京市数学竞赛复赛题） 【针对训练】 【1】下面有4个命题①一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确命题的个数是（ ）（1988年全国联赛试题） A、1 B、2 C、3 D、4 【2】菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90，则图中共有全等三角形（ ） A、4对 B、6对 C、8对 D、12对