四年级奥数——鸡兔同笼问题

第6讲 鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是依据题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类出名的中国古算题。很多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 【例题讲解及思维拓展训练题】 例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问小梅家的鸡与兔各有多少只 分析假设16只都是鸡，那么就应当有216＝32（只）脚，但事实上有44只脚，比假设的状况多了44-32＝12（只）脚，出现这种状况的缘由是把兔当作鸡了。假如我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解有兔（44-216）（4-2）6（只）， 有鸡16-6＝10（只）。 答有6只兔，10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应当有416＝64（只）脚，但事实上有44只脚，比假设的状况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数削减了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。 有鸡（416-44）（4-2）10（只）， 有兔1610＝6（只）。 由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采纳假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 【思维拓展训练一】 1、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问大、小和尚各有多少人 分析与解本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演化而得。假如将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要削减31＝2（个），因为1602＝80，故小和尚有80人，大和尚有 100－80＝20（人）。 同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 2、 彩色文化用品每套19元，一般文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问两种文化用品各买了多少套 分析与解我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了16套彩色文化用品，则共需1916＝304（元），比实际多304280＝24（元），现在用一般文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用1911＝8（元），所以 买一般文化用品 2483（套）， 买彩色文化用品 16－3＝13（套）。 例2 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问鸡、兔各多少只 分析假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而事实上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比事实上多20020180（只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚削减2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会削减4＋2＝6（只），而1806＝30，因此有兔子30只，鸡10030＝70（只）。 解有兔（210020）（2＋4）＝30（只）， 有鸡1003070（只）。 答有鸡70只，兔30只。 【思维拓展训练二】 1、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问大、小瓶各有多少个 分析本题与例4特别类似，仿按例4的解法即可。 解小瓶有（450-20）（4＋2）＝30（个）， 大瓶有50-30＝20（个）。 答有大瓶20个，小瓶30个。 2、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨 分析要算出这批钢材有多少吨，须要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。 利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436144（吨）。依据条件，要装完这144吨钢材还须要45-369（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装1449＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解436（45-36）45＝720（吨）。 答这批钢材有720吨。 例3 乐乐百货商店托付搬运站运输500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但假如发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问搬运过程中共打破了几只花瓶 分析假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500120（元）。事实上只得到115.5元，少得120-115.54.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.51.5＝3（只）。 解（0.24500－115.5）（0.24＋1.26）＝3（只）。 答共打破3只花瓶。 【思维拓展训练三】 1、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下 分析与解利用假设法，假设小喜的跳绳速度削减到与小乐一样，那么两人跳的总数削减了 12（2＋3）＝60（下）。 可求出小乐每分钟跳 （78060）（2＋3＋3）＝90（下）， 小乐一共跳了903270（下），因此小喜比小乐共多跳 7802702＝240（下）。 【课堂巩固训练题】 1． 鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只 2． 学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问象棋与跳棋各有多少副 3． 班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问买活页簿、日记本各几本 4． 龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问龟、鹤各几只 5． 小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问贺年卡、明信片各买了几张 6． 一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问这几天中共有几个雨天 7． 振兴小学六年级实行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题 8． 有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那