三角函数公式证明

两角和的正弦与余弦公式 （1）sin（αβ）sinαcosβcosαsinβ； （2）cos（αβ）cosαcosβ-sinαsinβ； 教材的思路是在直角坐标系的单位圆中， 根据两点间的距离公式推导 cos（αβ）cosαcosβ-sinαsinβ； 再用诱导公式证明sin（αβ）sinαcosβcosαsinβ； 如图所示∠AODα，∠BOD-β，∠AOCβ，∠DOCβα。 则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（αβ），sin（αβ）]。 ∵OAOBOCOD1 ∴CDAB。 ∵CD2[cos（αβ）-1]2[sin（αβ）-0]2； cos2（αβ）-2cos（αβ）1sin2（αβ）； 2-2cos（αβ）。 AB2（cosα-cosβ）2（sinαsinβ）2； cos2α-2cosαcosβcos2βsin2α2sinαsinβsin2β； 2-2[cosαcosβ-sinαsinβ]。 ∴2-2cos（αβ）2-2[cosαcosβ-sinαsinβ]。 ∴cos（αβ）cosαcosβ-sinαsinβ ∴sin（αβ）cos（90-α-β） cos[（90-α）（-β）] cos（90-α）cos（-β）-sin（90-α）sin（-β） sinαcosβcosαsinβ 又tanα-β sinα-β/cosα-β （sinαcosβ-cosαsinβ）/（cosαcosβsinαsinβ） 同除cosαcosβ,得tanα-βtanα-tanβ/1tanαtanβ 同理，tanαβtanαtanβ/1-tanαtanβ 正弦、余弦的和差化积公式 指三角函数中的一组恒等式 以上公式可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。 证明由和角公式有， 两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。 正切的和差化积 （附证明 cotαcotβsin（βα）/sinαsinβ） tanαcotβcos（α-β）/cosαsinβ） tanα-cotβ-cos（αβ）/cosαsinβ）【注意右式前的负号】 证明左边tanαtanβsinα/cosαsinβ/cosβ sinαcosβcosαsinβ）/cosαcosβ） sin（αβ）/cosαcosβ）右边 ∴等式成立 注意事项编辑 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然 生动的口诀（和差化积） 帅帅帅哥[1] 帅-帅哥帅 哥哥哥哥 哥-哥负嫂嫂 反之亦然 语文老师教的口诀 口口之和仍口口 cosαcosβ2cos[αβ/2]cos[α-β/2] 赛赛之和赛口留 sinαsinβ2sin[αβ/2]cos[α-β/2] 口口之差负赛赛 cosα-cosβ-2sin[αβ/2]sin[α-β/2] 赛赛之差口赛收 sinα-sinβ2cos[αβ/2]sin[α-β/2] 另一口诀 正和正在先，sinαsinβ2sin[αβ/2]cos[α-β/2] 正差正后迁，sinα-sinβ2cos[αβ/2]sin[α-β/2] 余和一色余，cosαcosβ2cos[αβ/2]cos[α-β/2] 余差翻了天，cosα-cosβ-2sin[αβ/2]sin[α-β/2] 另另一种口诀（前提是角度αβ/2在前，α-β/2在后的标准形式） 正弦加正弦，正弦在前面，sinαsinβ2sin[αβ/2]cos[α-β/2] 正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ2cos[αβ/2]sin[α-β/2] 余弦加余弦，余弦全部见，cosαcosβ2cos[αβ/2]cos[α-β/2] 余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ-2sin[αβ/2]sin[α-β/2] 3记忆方法编辑 和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。 如何只记两个公式甚至一个 我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。 而第二个公式中的-sinβsin（βπ），也就是sinα-sinβsinαsin（βπ），这就可以用第一个公式解决。 同理第四个公式中，cosα-cosβcosαcos（βπ），这就可以用第三个公式解决。 如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。 用的时候想得起一两个就行了。 结果乘以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如 cos（α-β）-cos（αβ） [cosαcosβsinαsinβ）-cosαcosβ-sinαsinβ）] 2sinαsinβ 故最后需要乘以2。 只有同名三角函数能和差化积 无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。 乘积项中的角要除以2 在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是（αβ）/2和（α-β）/2，也就是乘积项中角的形式。 注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。 使用哪两种三角函数的积 这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/2的三角函数名。 是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的