含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题专题

含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常状况下，均需分类探讨，那么如何探讨呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种 一、按项的系数的符号分类，即; 例1 解不等式 分析本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项 系数进行分类探讨。 解∵ 解得方程 两根 ∴当时,解集为 当时，不等式为,解集为 当时, 解集为 例2 解不等式 分析 因为，，所以我们只要探讨二次项系数的正负。 解 当时，解集为；当时，解集为 二、按判别式的符号分类，即； 例3 解不等式 分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑及根的状况。 解∵ ∴当即时，解集为； 当即Δ＝0时，解集为； 当或即,此时两根分别为，，明显, ∴不等式的解集为 例4 解不等式 解 因 所以当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为R。 三、按方程的根的大小来分类，即； 例5 解不等式 分析此不等式可以分解为，故对应的方程必有两解。本题 只需探讨两根的大小即可。 解原不等式可化为，令，可得 ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，,可得其解集为； 当或时, ,解集为。 例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根及的大小. 解 原不等式可化为，对应方程的两根为 ，当时，即，解集为；当时，即，解集为 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖学问点多，综合性强，解法敏捷等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数及方程”、“化归及转化”、“数形结合”、“分类探讨”等数学思想对熬炼学生的综合解题实力，培育其思维的敏捷性、创建性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有 1）对恒成立; 2）对恒成立 例1若不等式的解集是R，求m的范围。 解析要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要探讨m-1是否是0。 （1）当m-10时，元不等式化为20恒成立，满意题意； （2）时，只需，所以，。 例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。 解由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。 所以实数的取值范围为。 若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有 1）恒成立 2）恒成立 例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。 解设，则问题转化为当时，的最小值非负。 （1） 当即时， 又所以不存在； （2） 当即时， 又 （3） 当 即时， 又 综上所得 例4．函数，若对随意，恒成立，求实数的取值范围。 解若对随意，恒成立， 即对，恒成立， 考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得 而抛物线在的最小值得 注本题还可将变形为，探讨其单调性从而求出最小值。 例5在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。 解析由 ，，恒成立，，即恒成立， 例6求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析由于函，明显函数有最大值，。 三、分别变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数及主元分别于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清楚，操作性更强。一般地有 1）恒成立 2）恒成立 例7、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。 解令， 所以原不等式可化为， 要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 例8、已知函数，若对随意恒有，试确定的取值范围。 解依据题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则 当时， 所以 例9．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。 解 将问题转化为对恒成立。 令，则 由可知在上为减函数，故 ∴即的取值范围为。 注分别参数后，方向明确，思路清楚能使问题顺当得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思索，往往会使问题降次、简化。 例10．对随意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 解令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。 当时，应有解之得。 故的取值范围为。 注一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。 例11、若不等式对满意的全部都成立，求的取值范围。 解设，对满意的，恒成立， 解得 五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明白数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着亲密的联系 1）函数图象恒在函数图象上方； 2）函数图象恒在函数图象下上方。 x -2 -4 y O -4 例12．设 , , 若恒有成立,求实数的取值范围. 分析在同始终角坐标系中作出及 的图象 如图所示，的图象是半圆 的图象是 平行的直线系。 要使恒成立， 则圆心到直线的距离 满意 解得（舍去 由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖学问点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这须要我们不断的去领悟、体会和总结。 例13已知，求实数a的取值范围。 解析由，在同始终角坐标系中做出两个函数的图象，假如两个函数分别在x-1和x1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例14、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。 解由题意知在内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数和 视察两函数图象，当时，若函数的图象明显在函数图象的下方，所以不成立； 当时，由图可知，的图象必需过点或在这个点的上方，则， 综上得 例15．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。 解设，则当时，恒成立 O x yx -1 当时，明显成立； 当时，如图，恒成立的充要条件为 解得。 综上可得实数的取值范围为。 第 10 页