向量组的线性相关性教案

第四章 向量组的线性相关性 1．教学目的和要求 （1）理解n维向量、向量的线性表示的概念. （2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. （3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. （4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. （5）理解线性方程组解的性质. （6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。驾驭齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. （7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. （8）会用初等行变换求解线性方程组. 2．教学重点向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3．教学难点 （1）向量组的线性相关性中相关定理的证明. （2）求向量组的秩及最大线性无关组. （3）线性方程组的解的结构定理及其应用. 4．教学内容 1 向量组及其线性组合 定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个重量,第个数称为第个重量. 定义2 对维向量及, 若有数组, 使得， 称为的线性组合,或可由线性表示． 例1 设, , , 试推断可否由线性表示 解 设，比较两端的对应重量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示． [注] 取另一组解时, 有． 定理1 向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩. 定义3 设有两个向量组及, 若组中每个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 定理2 向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩的秩, 即 推论 向量组与向量组等价的充分必要条件是, 其中和是向量组和所构成的矩阵. 定理3 设向量组能由向量组线性表示, 则 课后作业 习题四 1，2，3，4，5 2 向量组的线性相关性 定义4 线性相关对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 则称向量组线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 则称向量组线性无关, 否则称为线性相关． [注] 对于单个向量若, 则线性相关； 若, 则线性无关． 对于两个向量的向量组,若对应重量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关. 例2 推断例1中向量组的线性相关性． 解 设, 比较两端的对应重量可得 即．因为未知量的个数是4, 而, 所以 有非零解, 由定义知线性相关． 例3 已知向量组线性无关, 证明向量组 , , 线性无关． 证 设 , 则有 因为线性无关, 所以 , 即 系数行列式 , 该齐次方程组只有零解． 故线性无关． 例4 推断向量组 , , , 的线性相关性． 解 设 , 则有 只有 故线性无关. 定理4 （1）向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示． 证 必要性 已知线性相关, 则存在不全为零, 使得 不妨设, 则有 ． 充分性 不妨设 , 则有 因为不全为零, 所以线性相关． （2）若向量组线性无关, 线性相关，则可由线性表示, 且表示式唯一． 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 若, 则有 ．冲突 故, 从而有 ． 下面证明表示式唯一 若 , 则有 因为线性无关, 所以 即的表示式唯一． （3）线性相关线性相关． 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 数组不全为零, 故线性相关． 推论 向量组线性无关随意的部分组线性无关． 定理5 设 1 线性相关； 2 线性无关． 证 设 比较等式两端向量的对应重量可得 即 ．由定理可得 线性相关有非零解 推论1 在定理5中, 当时, 有 1 线性相关； 2 线性无关． 推论2 在定理5中, 当时, 有 1 线性相关中全部的阶子式（）； 2 线性无关中至少有一个阶子式． 推论3 在定理5中, 当时, 必有线性相关． 因为, 由定理51即得． 推论4 向量组 向量组 若线性无关, 则线性无关即无关组添加重量仍无关. 证 线性无关 是的子矩阵 线性无关 定理6 划分, 则有 1 中某个中“所在的”个行向量线性无关； 中“所在的”个列向量线性无关． 2 中全部中随意的个行向量线性相关； 中随意的个列向量线性相关． 证 只证“行的情形” 1 设位于的行, 作矩阵, 则有 线性无关． 2 任取中个行, 设为行, 作矩阵, 则有线性相关． [注] 称为的行向量组, 为的列向量组． 3 向量组的秩 定义5 向量组的秩设向量组为, 若 1 在中有个向量线性无关； 2 在中随意个向量线性相关（假如有个向量的话）． 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作秩． [注] 1 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0． 2 秩时, 中随意