向量及向量的基本运算

l 向量及向量的基本运算 一、教学目标1．理解向量的有关概念，驾驭向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培育并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程 （一）主要学问 1）向量的有关概念 ①向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量长度为0的向量，记为，其方向是随意的，与随意向量平行。留意与0的区分 ③单位向量模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。随意一组平行向量都可以移到同始终线上。相反向量我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。记作-。 ⑤相等向量长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明（1）； （2）向量加法满意交换律与结合律； 3向量的减法 ① 相反向量与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有 （i）； ii ； iii若、是互为相反向量，则,,。 ②向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 的作图法可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。 注（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4实数与向量的积 ①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下 （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是随意的。 ②数乘向量满意交换律、结合律与安排律。实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，则 ①λμλμ ②λμ λμ ③λλλ 5两个向量共线定理 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得。 6平面对量的基本定理 假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内全部向量的一组基底。 7特殊留意 （1）向量的加法与减法是互逆运算。 （2）相等向量与平行向量有区分，向量平行是向量相等的必要条件。 （3）向量平行与直线平行有区分，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的状况。 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位置有关。 （二）主要方法 1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用； 3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例和单位向量，要考虑周全． （三）例题分析 例1、推断下列各命题是否正确 1零向量没有方向 2若 3单位向量都相等 4 向量就是有向线段 5两相等向量若共起点,则终点也相同 6若，，则； 7若，，则 8若四边形ABCD是平行四边形,则 9已知A（3，7），B（5，2），将按向量（1，2）平移后得到的向量的坐标为（3，－3） 10）的充要条件是且； 解1 不正确，零向量方向随意, 2 不正确，说明模相等,还有方向 3 不正确，单位向量的模为1,方向许多 4 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 5正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。8 不正确, 如图 （9）不正确，∵（1，2），∴平移公式是，将A（3，7），B（5，2）分别代入可求得，故（6,4）－（4,9）（2,－5）。 （10）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到； [点评]正确理解向量的有关概念 例2、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满意BC3BM,线段CD上有一点N满意CD＝3CN,设 解 . [点评]依据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行相互表示 练习 △ABC中, 用.如图 解 例3、一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速． 解设表示垂直于对岸的速度,表示水流速度,则为实际速度 航行时间为4km2km/h2h 在△ABC中 所以, 河水的流速为 [点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要擅长运用平行四边形和三角形法则 例4、在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，用向量的方法证明 DE平行且等于0.5BC 分析要证明DE平行且等于0.5BC,只要 解如图 又D,E为中点 即 所以DE平行且等于0.5BC [点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简洁明白 练习 已知G是△ABC的重心，求证 证明以向量为邻边作平行四边形GBEC，则，又由G为△ABC的重心知，从而，∴。 例5、设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值 分析使 解, 使 得 [点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决 例3． 经过重心的直线与分别交于点，， A 设，，求的值。 解设，则， 由共线，得 存在实数，使得，即 从而，消去得 （四）巩固练习 1．已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、． 解（1） （2） （3） 2． （1）设两个非零向量、不共线，假如, 求证三点共线. （2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值. （1）证明因为 所以 又因为 得 即 又因为公共点 所以三点共线； （2）解 因为共线 所以 设 所以 即； 四、小结 1）向量的有关概念 ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法 3实数与向量的积 4两个向量共线定理 5平面对量的基本定理, 基底 五、作业